Question

16．已知圆过（0，0）点且与直线2x+y-5=0相切于点P（1，3），过B（1，a）作圆两条切线，切点为M，N，若|MN|≤$\frac{\sqrt{30}}{2}$，求a取值范围．

Answer 1

分析 设圆的圆心C为（a，b），半径为r，运用直线和圆相切的条件，解方程可得a=-1，b=2，可得圆C的方程，由B，N，C，M共圆，可得BC为直径，求出圆的方程，将两圆方程相减可得MN的方程，运用点到直线的距离公式和弦长公式，化简整理可得|MN|，由条件解不等式可得a的范围，再由B在圆外，可得a的范围．

解答 解：设圆的圆心C为（a，b），半径为r，
由圆过（0，0）点且与直线2x+y-5=0相切于点P（1，3），
则$\frac{b-3}{a-1}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{|2a+b-5|}{\sqrt{5}}$=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=r，
解得a=-1，b=2，r=$\sqrt{5}$，
即有圆的方程为（x+1）²+（y-2）²=5，①
由B，N，C，M共圆，可得BC为直径，
即有方程为（x-1）（x+1）+（y-a）（y-2）=0，②
①-②可得切点弦MN的方程为2x+（a-2）y+1-2a=0．
由B在圆外，可得（1+1）²+（a-2）²＞5，解得a＞3或a＜1．
圆心（0，$\frac{2+a}{2}$）到直线MN的距离d=$\frac{|\frac{{a}^{2}-4a-2}{2}|}{\sqrt{4+（a-2）^{2}}}$，
由弦长公式可得|MN|=2$\sqrt{\frac{4+（a-2）^{2}}{4}-{d}^{2}}$=$\sqrt{\frac{20（{a}^{2}-4a+3）}{{a}^{2}-4a+8}}$，
|MN|≤$\frac{\sqrt{30}}{2}$，解得0≤a≤4，
又a＞3或a＜1，可得0≤a＜1或3＜a≤4，
即有a的取值范围是[0，1）∪（3，4]．

点评 本题考查圆的方程和运用，主要考查直线和圆相切的条件，以及直线和圆相交的弦长公式的运用，同时考查不等式的解法，属于中档题和易错题．