题目内容
对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），定义：设f″（x）是函数y=f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．有同学发现：“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”请你将这一发现为条件，解答问题：若函数g（x）=
x3-
x2+3x-
+
，则g(
)+g(
)+g(
)+g(
)+…+g(
)的值是（ ）
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x-
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分析：构造h（x）=
x3-
x2+3x-
，m（x）=
，则g（x）=h（x）+m（x），分别求得对称中心，利用g（x）+g（1-x）=h（x）+h（1-x）+m（x）+m（1-x）=2，可得结论．
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x-
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解答：解：由题意，令h（x）=
x3-
x2+3x-
，m（x）=
则h′（x）=x2-x+3，∴h″（x）=2x-1，
令h″（x）=0，可得x=
∴h（
）=1，即h（x）的对称中心为（
，1），
∴h（x）+h（1-x）=2
∵m（x）=
的对称中心为（
，0）
∴m（x）+m（1-x）=0
∵g（x）=h（x）+m（x）
∴g（x）+g（1-x）=h（x）+h（1-x）+m（x）+m（1-x）=2
∴g(
)+g(
)+g(
)+g(
)+…+g(
)=2010
故选A．
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x-
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则h′（x）=x2-x+3，∴h″（x）=2x-1，
令h″（x）=0，可得x=
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∴h（
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∴h（x）+h（1-x）=2
∵m（x）=
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x-
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∴m（x）+m（1-x）=0
∵g（x）=h（x）+m（x）
∴g（x）+g（1-x）=h（x）+h（1-x）+m（x）+m（1-x）=2
∴g(
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故选A．
点评：本小题考查新定义，考查函数与导数等知识，考查化归与转化的数学思想方法，考查计算能力，属于中档题．
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