Question

9．已知数列{a_n}中，a₁=2，a_n=$\frac{{1+{a_{n-1}}}}{{1-{a_{n-1}}}}$（n≥2），则a₂₀₁₅=$-\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 通过计算出前几项的值确定周期，进而可得结论．

解答 解：∵a_n=$\frac{{1+{a_{n-1}}}}{{1-{a_{n-1}}}}$（n≥2），a₁=2，
∴a₂=$\frac{1+{a}_{1}}{1-{a}_{1}}$=$\frac{1+2}{1-2}$=-3，
a₃=$\frac{1+{a}_{2}}{1-{a}_{2}}$=$\frac{1-3}{1-（-3）}$=-$\frac{1}{2}$，
${a}_{4}=\frac{1+{a}_{3}}{1-{a}_{3}}$=$\frac{1-\frac{1}{2}}{1-（-\frac{1}{2}）}$=$\frac{1}{3}$，
${a}_{5}=\frac{1+{a}_{4}}{1-{a}_{4}}$=$\frac{1+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}}$=2，
∴数列{a_n}是以4为周期的周期数列，
又∵2015=503×4+3，
∴a₂₀₁₅=a₃=$-\frac{1}{2}$，
故答案为：$-\frac{1}{2}$．

点评 本题考查数列的通项，找出周期是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．