题目内容

如图,四面体ABCD中,△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形.

(1)求证:BCAD
(2)试问该四面体的体积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值及此时棱长AD的大小;若不存在,请说明理由.
(1)见解析(2)最大值为8,此时棱长AD=2.
(1)证明:取BC的中点E,连结AEDE
∵△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形,
AEBCDEBC.
AEDEE
BC⊥平面AEDAD?平面AED,∴BCAD.

(2)由已知得,△AED为等腰三角形,且AEED=2
ADxF为棱AD的中点,
EFSAED
VSAED·(BECE)= (0<x<4),
x2=24,即x=2时,Vmax=8,
∴该四面体存在最大值,最大值为8,此时棱长AD=2.
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