题目内容
如图,四面体ABCD中,△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形.
(1)求证:BC⊥AD;
(2)试问该四面体的体积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值及此时棱长AD的大小;若不存在,请说明理由.
(1)求证:BC⊥AD;
(2)试问该四面体的体积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值及此时棱长AD的大小;若不存在,请说明理由.
(1)见解析(2)最大值为8,此时棱长AD=2.
(1)证明:取BC的中点E,连结AE,DE,
∵△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形,
∴AE⊥BC,DE⊥BC.
∵AE∩DE=E,
∴BC⊥平面AED,AD?平面AED,∴BC⊥AD.
(2)由已知得,△AED为等腰三角形,且AE=ED=2,
设AD=x,F为棱AD的中点,
则EF= ,S△AED=,
V=S△AED·(BE+CE)= (0<x<4),
当x2=24,即x=2时,Vmax=8,
∴该四面体存在最大值,最大值为8,此时棱长AD=2.
∵△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形,
∴AE⊥BC,DE⊥BC.
∵AE∩DE=E,
∴BC⊥平面AED,AD?平面AED,∴BC⊥AD.
(2)由已知得,△AED为等腰三角形,且AE=ED=2,
设AD=x,F为棱AD的中点,
则EF= ,S△AED=,
V=S△AED·(BE+CE)= (0<x<4),
当x2=24,即x=2时,Vmax=8,
∴该四面体存在最大值,最大值为8,此时棱长AD=2.
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