Question

9．任取k∈[-1，1]，直线y=k（x+2）与圆x²+y²=4相交于M，N两点，则|MN|$≥2\sqrt{3}$的概率是$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 根据直线和圆相交的性质求出满足|MN|$≥2\sqrt{3}$的等价条件，结合几何概型的概率公式进行计算即可．

解答 解：圆心为O（0，0），半径R=2，
圆心到直线的距离d=$\frac{|2k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
则|MN|=2$\sqrt{{R}^{2}-{d}^{2}}$=2$\sqrt{4-\frac{4{k}^{2}}{1+{k}^{2}}}=\sqrt{\frac{4}{1+{k}^{2}}}$×2=$\frac{4}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
由|MN|$≥2\sqrt{3}$得$\frac{4}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$$≥2\sqrt{3}$，
平方得$\frac{16}{1+{k}^{2}}≥12$，
即k²$≤\frac{1}{3}$，
即-$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤k≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵已知k∈[-1，1]，
∴对应的概率P=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}-（-\frac{\sqrt{3}}{3}）}{1-（-1）}=\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{3}$

点评 本题主要考查几何概型的概率的计算，根据直线和圆相交的性质求出满足条件的k的等价条件是解决本题的关键．