Question

4．若函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x+\frac{3}{4}（x≤0）}\\{lnx+a（x＞0）}\end{array}\right.$的图象在A，B两点处的切线重合，则实数a的取值范围为（-∞，ln2+$\frac{11}{4}$）．

Answer 1

分析 先根据导数的几何意义写出函数f（x）在点A、B处的切线方程，再利用两直线重合的充要条件列出关系式，从而得出a=-lnx₂-（$\frac{1}{2{x}_{2}}$-1）²-（$\frac{1}{2{x}_{2}}$-1）+$\frac{7}{4}$，最后利用导数研究它的单调性和最值，即可得出a的取值范围．

解答 解：当x＜0时，f（x）=x²+x+$\frac{3}{4}$的导数为f′（x）=2x+1；
当x＞0时，f（x）=lnx+a的导数为f′（x）=$\frac{1}{x}$，
设A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））为该函数图象上的两点，且x₁＜x₂，
当x₁＜x₂＜0，或0＜x₁＜x₂时，f′（x₁）≠f′（x₂），故x₁＜0＜x₂，
当x₁＜0时，函数f（x）在点A（x₁，f（x₁））处的切线方程为y-（x₁²+x₁+$\frac{3}{4}$）=（2x₁+2）（x-x₁）；
当x₂＞0时，函数f（x）在点B（x₂，f（x₂））处的切线方程为y-a-lnx₂=$\frac{1}{{x}_{2}}$（x-x₂）；
两直线重合的充要条件是$\frac{1}{{x}_{2}}$=2x₁+2①，a+lnx₂-1=-x₁²+$\frac{3}{4}$-x₁②，
由①及x₁＜0＜x₂得0＜$\frac{1}{{x}_{2}}$＜2，由①②得a=-lnx₂-（$\frac{1}{2{x}_{2}}$-1）²-（$\frac{1}{2{x}_{2}}$-1）+$\frac{7}{4}$
=ln$\frac{1}{{x}_{2}}$-$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{{x}_{2}}$-2）²-$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{{x}_{2}}$-2）+$\frac{7}{4}$，
令t=$\frac{1}{{x}_{2}}$，则0＜t＜2，且a=lnt-$\frac{1}{4}$t²+$\frac{1}{2}$t+$\frac{7}{4}$，
设h（t）=lnt-$\frac{1}{4}$t²+$\frac{1}{2}$t+$\frac{7}{4}$，（0＜t＜2）
则h′（t）=$\frac{1}{t}$-$\frac{1}{2}$t+$\frac{1}{2}$＞0，∴h（t）在（0，2）为增函数，
则h（t）＜h（2）=ln2+$\frac{11}{4}$，∴a＜ln2+$\frac{11}{4}$，
∴若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，
a的取值范围是（-∞，ln2+$\frac{11}{4}$）．
故答案为：（-∞，ln2+$\frac{11}{4}$）．

点评 本题主要考查了导数的几何意义等基础知识，考查了推理论证能力、运算能力、创新意识，考查了函数与方程、分类与整合、转化与化归等思想方法．