Question

2．如图所示，边长为1的正方形ABCD的顶点A，D分别在边长为2的正方形A′B′C′D′的边A′B′和A′D′上移动，则$\overrightarrow{A'B}•\overrightarrow{A'C}$的最大值是（　　）

• A． 2
• B． 1+$\sqrt{2}$
• C． π
• D． 4

Answer 1

分析 令∠A'AD=θ，由边长为1的正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴正半轴上，可得出B，C的坐标，由此可以表示出两个向量，算出它们的数量积，由二倍角公式和正弦函数的值域，即可得到最大值．

解答 解：如图以A'为坐标原点，A'B所在直线为x轴，建立直角坐标系，
令∠A'AD=θ，由于AD=1，故A'A=cosθ，A'D=sinθ，
如图∠BAx=$\frac{π}{2}$-θ，AB=1，
故x_B=cosθ+cos（$\frac{π}{2}$-θ）=cosθ+sinθ，
y_B=sin（$\frac{π}{2}$-θ）=cosθ，
故$\overrightarrow{A'B}$=（cosθ+sinθ，cosθ）
同理可求得C（sinθ，cosθ+sinθ），
即$\overrightarrow{A'C}$=（sinθ，cosθ+sinθ），
∴$\overrightarrow{A'B}$•$\overrightarrow{A'C}$=（cosθ+sinθ，cosθ）•（sinθ，cosθ+sinθ）=1+sin2θ，
当θ=$\frac{π}{4}$时，$\overrightarrow{A'B}•\overrightarrow{A'C}$的最大值是的最大值是2．
故选：A．

点评 本题考查向量在几何中的应用，设角引入坐标是解题的关键，由于向量的运算与坐标关系密切，所以在研究此类题时应该想到设角来表示点的坐标．