题目内容
17.设曲线y=(ax-1)ex在点A(x0,y0)处的切线为l1,曲线y=(1-x)e-x在点B(x0,y1)处的切线为l2,若存在x0∈[0,$\frac{3}{2}$],使得l1⊥l2,则实数a的取值范围是( )A. | (-∞,1] | B. | ($\frac{1}{2}$,+∞) | C. | (1,$\frac{3}{2}$) | D. | [1,$\frac{3}{2}$] |
分析 根据曲线方程分别求出导函数,把A和B的横坐标x0分别代入到相应的导函数中求出切线l1和切线为l2的斜率,然后根据两条切线互相垂直得斜率乘积为-1,列出关于x0的等式,求出a,对a的函数求得导数,判断为减函数,求出其值域即可得到a的取值范围
解答 解:函数y=(ax-1)ex的导数为y′=(ax+a-1)ex,
∴l1的斜率为k1=(ax0+a-1)${e}^{{x}_{0}}$,
函数y=(1-x)e-x的导数为y′=(x-2)e-x
∴l2的斜率为k2=(x0-2)${e}^{-{x}_{0}}$,
由题设有k1•k2=-1从而有(ax0+a-1)${e}^{{x}_{0}}$•(x0-2)${e}^{-{x}_{0}}$=-1,
∴a(x02-x0-2)=x0-3,
∵x0∈[0,$\frac{3}{2}$],得到x02-x0-2≠0,所以a=$\frac{{x}_{0}-3}{{{x}_{0}}^{2}-{x}_{0}-2}$,
又a′=-$\frac{({x}_{0}-1)({x}_{0}-5)}{({{x}_{0}}^{2}-{x}_{0}-2)^{2}}$,令导数大于0得,1<x0<5,
故a=$\frac{{x}_{0}-3}{{{x}_{0}}^{2}-{x}_{0}-2}$在(0,1)是减函数,在(1,$\frac{3}{2}$)上是增函数,
x0=0时取得最大值为$\frac{3}{2}$;x0=1时取得最小值为1.
∴1≤a≤$\frac{3}{2}$.
故选D.
点评 此题是一道综合题,考查学生会利用导数求切线的斜率,会求函数的值域,掌握两直线垂直时斜率的关系.
练习册系列答案
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2.如图所示,边长为1的正方形ABCD的顶点A,D分别在边长为2的正方形A′B′C′D′的边A′B′和A′D′上移动,则$\overrightarrow{A'B}•\overrightarrow{A'C}$的最大值是( )
A. | 2 | B. | 1+$\sqrt{2}$ | C. | π | D. | 4 |
9.函数y=1-2sinx的值域是( )
A. | [-2,1] | B. | [-1,3] | C. | [0,1] | D. | [-2,3] |