Question

【题目】在如图所示的多面体中，四边形和都为矩形.

（1）若，证明：直线平面；

（2）设、分别是线段、的中点，在线段上是否存在一点，使直线平面？请证明你的结论.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）存在，是线段的中点，证明见解析.

【解析】

（1）证明出平面，可得出，再结合，然后利用直线与平面垂直的判定定理可证明出直线平面；

（2）取线段的中点，连接、、、，设为、的交点，可知为的中点，连接、，证明出四边形为平行四边形，可得出，然后利用直线与平面平行的判定定理证明出平面，由此可得出当点为线段的中点时，平面.

（1）因为四边形和都是矩形，所以，.

因为、为平面内两条相交直线，所以平面.

因为直线平面，所以.

又由已知，，、为平面内两条相交直线，

所以平面；

（2）取线段的中点，连接、、、，设为、的交点.

由已知，为的中点.

连接、，则、分别为、的中位线.

所以，，因此.

连接，从而四边形为平行四边形，则.

因为直线平面，平面，

所以直线平面.

即线段上存在一点（线段的中点），使直线平面.