题目内容
（2010•上海）在平面上，给定非零向量
，对任意向量
，定义
=
-
．
（1）若
=（2，3），
=（-1，3），求
；
（2）若
=（2，1），证明：若位置向量
的终点在直线Ax+By+C=0上，则位置向量
的终点也在一条直线上；
（3）已知存在单位向量
，当位置向量
的终点在抛物线C：x2=y上时，位置向量
终点总在抛物线C′：y2=x上，曲线C和C′关于直线l对称，问直线l与向量
满足什么关系？
| b |
| a |
| a′ |
| a |
2(
| ||||
|
|
| b |
（1）若
| a |
| b |
| a′ |
（2）若
| b |
| a |
| a′ |
（3）已知存在单位向量
| b |
| a |
| a′ |
| b |
分析：（1）根据题意，算出
•
=7，
2=10，代入
的表达式并化简整理，即可得到
=（
，-
）；
（2）设
=（x'，y'），终点在直线Ax+By+C=0上，由题中
的表达式解出
=（x，y）满足的关系式，从而得到点
（
，
）在直线Ax+By+C=0上，化简整理得到直线（3A+4B）x+（4A-3B）y-5C=0，说明向量
的终点也在一条直线上；
（3））设
=（x，y），单位向量
=（cosθ，sinθ），解出
关于x、y和θ的坐标形式，结合
的终点在抛物线x2=y上且
终点在抛物线y2=x上，建立关于x、y和θ的方程，化简整理得到
=±（
，
）．再由曲线C和C′关于直线l：y=x对称，算出l的方向向量
满足
•
=0，从而得到直线l与向量
垂直．
| a |
| b |
| |b| |
| a′ |
| a′ |
| 17 |
| 5 |
| 6 |
| 5 |
（2）设
| a |
| a′ |
| a′ |
（
| -3x-4y |
| 5 |
| -4x+3y |
| 5 |
| a′ |
（3））设
| a |
| b |
| a′ |
| a |
| a′ |
| b |
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
| d |
| d |
| b |
| b |
解答：解：（1）∵
=（2，3），
=（-1，3），
∴
•
=7，
2=10，可得
=
（-1，3）=（-
，
）
因此
=
-
=（2，3）-（-
，
）=（
，-
）；
（2）设
=（x'，y'），终点在直线Ax+By+C=0上
算出
•
=2x'+y'，
2=5，
=
（2，1）=（
，
），
∴
=
-
=（x'，y'）-（
，
）=（
，
）
因此，若
=（x，y），满足
，得到
∵点（
，
）在直线Ax+By+C=0上
∴A×
+B×
+C=0，化简得（3A+4B）x+（4A-3B）y-5C=0，
由A、B不全为零，可得以上方程是一条直线的方程
即向量
的终点也在一条直线上；
（3）∵
是单位向量，
∴设
=（x，y），
=（cosθ，sinθ），可得
•
=xcosθ+ysinθ，
所以
=
-
=
-2（xcosθ+ysinθ）
=（-xcos2θ-ysin2θ，-2xsin2θ+ycos2θ）
∵
的终点在抛物线x2=y上，且
终点在抛物线y2=x上，
∴-xcos2θ-ysin2θ=（-2xsin2θ+ycos2θ）2，
化简整理，通过比较系数可得cosθ=
，sinθ=-
或cosθ=-
，sinθ=
∴
=±（
，
），
∵曲线C和C′关于直线l：y=x对称，
∴l的方向向量
=（1，1）．
可得
•
=0，即
⊥
，因此直线l与向量
垂直．
| a |
| b |
∴
| a |
| b |
| |b| |
2(
| ||||
|
|
| b |
| 2×7 |
| 10 |
| 7 |
| 5 |
| 21 |
| 5 |
因此
| a′ |
| a |
2(
| ||||
|
|
| b |
| 7 |
| 5 |
| 21 |
| 5 |
| 17 |
| 5 |
| 6 |
| 5 |
（2）设
| a |
算出
| a |
| b |
| |b| |
2(
| ||||
|
|
| b |
| 2(2x′+y′) |
| 5 |
| 8x′+4y′ |
| 5 |
| 4x′+2y′ |
| 5 |
∴
| a′ |
| a |
2(
| ||||
|
|
| b |
| 8x′+4y′ |
| 5 |
| 4x′+2y′ |
| 5 |
| -3x′-4y′ |
| 5 |
| -4x′+3y′ |
| 5 |
因此，若
| a′ |
|
|
∵点（
| -3x-4y |
| 5 |
| -4x+3y |
| 5 |
∴A×
| -3x-4y |
| 5 |
| -4x+3y |
| 5 |
由A、B不全为零，可得以上方程是一条直线的方程
即向量
| a′ |
（3）∵
| b |
∴设
| a |
| b |
| a |
| b |
所以
| a′ |
| a |
2(
| ||||
|
|
| b |
| a |
| b |
∵
| a |
| a′ |
∴-xcos2θ-ysin2θ=（-2xsin2θ+ycos2θ）2，
化简整理，通过比较系数可得cosθ=
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
∴
| b |
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
∵曲线C和C′关于直线l：y=x对称，
∴l的方向向量
| d |
可得
| d |
| b |
| d |
| b |
| b |
点评：本题给出向量的关系式，求证当向量
终点在一条直线上时，向量
的终点也在一条直线上等问题．着重考查了向量的数量积运算、向量的坐标运算和曲线与方程的讨论等知识，属于中档题．
| a |
| a′ |
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