题目内容

已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
过点(
3
3
2
)
,离心率e=
1
2
,若点M(x0,y0)在椭圆C上,则点N(
x0
a
y0
b
)
称为点M的一个“椭点”,直线l交椭圆C于A、B两点,若点A、B的“椭点”分别是P、Q,且以PQ为直径的圆经过坐标原点O.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若椭圆C的右顶点为D,上顶点为E,试探究△OAB的面积与△ODE的面积的大小关系,并证明.
(1)由已知得:
(
3
)2
a2
+
(
3
2
)2
b2
=1
a2=b2+c2
c
a
=
1
2
,即
3
a2
+
3
4b2
=1
a2=b2+c2
a=2c

 解得a2=4,b2=3,所以椭圆方程为
x2
4
+
y2
3
+1

(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则P(
x1
2
y1
3
),Q(
x2
2
y2
3
)

1°当直线l的斜率存在时,设方程为y=kx+m
 联立
x2
4
+
y2
3
=1
y=kx+m
得:(3+4k2)x2+8kmx+4(m2-3)=0.
则有△=(8km)2-4(3+4k2)×4(m2-3)=48(3+4k2-m2)>0
x1+x2=
-8km
3+4k2
x1x2=
4(m2-3)
3+4k2

由以PQ为直径的圆经过坐标原点O可得:
OP
OQ
=(
x1
2
y1
3
)•(
x2
2
y2
3
)=
x1x2
4
+
y1y2
3
=0
,即3x1x2+4y1y2=0•
把y1=kx1+m,y2=kx2+m代入整理得:
(3+4k2)x1x2+4km(x1+x2)+4m2=0  ②
将①式代入②式得:3+4k2=2m2
∵3+4k2>0,∴m2>0,
则△=48m2>0.
又点O到直线y=kx+m的距离d=
|m|
1+k2

|AB|=
1+k2
|x1-x2|
=
1+k2
4
3
3+4k2-m2
3+4k2
=
1+k2
4
3
|m|
3+4k2
=
1+k2
4
3
|m|
2m2


所以S△OAB=
1
2
|AB|d=
2
3
m2
2m2
=
3

2°当直线l的斜率不存在时,设方程为x=m(-2<m<2)
联立椭圆方程得:y2=
3(4-m2)
4

代入3x1x2+4y1y2=0得到3m2-
3(4-m2)
4
=0
,即m=±
2
5
5
,y=±
2
15
5

S△OAB=
1
2
|AB|d=
1
2
|m||y1-y2|=
3

综上:△OAB的面积是定值
3

S△ODE=
1
2
×2×
3
=
3
,所以二者相等.
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