Question

已知二次函数f（x）=x²-8x+q．
（1）若f（x）在（-1，1）上有且只有一个零点，求q的取值范围；
（2）问：是否存在常数q（0＜q＜6），使得当x∈[q，6]时，f（x）的最小值为-10？若存在，求出q的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由于二次函数的对称轴是x=4，二次项的系数1＞0，可得函数f（x）在（-1，1）上单调递减．由于f（x）在（-1，1）上有且只有一个零点，可得

f(-1)=q+9＞0 f(1)=q-7＜0

，解出即可；
（2）分类讨论：当0＜q＜4时，当4≤q＜6时，利用二次函数的单调性即可得出．

解答：解：（1）∵二次函数的对称轴是x=4，二次项的系数1＞0．
∴函数f（x）在（-1，1）上单调递减．
∵f（x）在（-1，1）上有且只有一个零点，
∴

f(-1)=q+9＞0 f(1)=q-7＜0

，
即

q＞-9 q＜7

，
解得-9＜q＜7．
（2）f（x）=（x-4）²+q-16，
当0＜q＜4时，f（x）的最小值是f（4）=q-16=-10，
解得q=6，不合题意．
当4≤q＜6时，f（x）的最小值是f（q）=q²-8q+q=-10，
解得q=5或2（不合题意舍去）．
∴q=5．

点评：本题考查了二次函数的对称性、单调性、分类讨论等基础知识与基本技能方法，属于中档题．