Question

（2013•大连一模）已知各项均为正数的数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1+a_n•a_n+1-a_n=0．
（Ⅰ）求证：数列{

1

an

}是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{

2n

an

}前n项和S_n．

Answer 1

分析：（I）由于各项均为正数的数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1+a_n•a_n+1-a_n=0，两边同除以a_na_n+1，即可得到

1

an+1

-

1

an

=1，转化为等差数列，利用通项公式即可得出；
（II）由（Ⅰ）知

2n

an

=n•2n．利用“错位相减法”和等比数列的前n项和公式即可得出．

解答：解：（Ⅰ）∵a_n+1+a_n•a_n+1-a_n=0，∴

an+1+an•an+1-an

an•an+1

=0，
∴

1

an+1

-

1

an

=1，

1

a1

=1，
∴数列{

1

an

}是以1为首项，1为公差的等差数列．

1

an

=1+(n-1)×1=n，可得an=

1

n

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知

2n

an

=n•2n．
Sn=1×21+2×22+…+n×2n．①
2Sn=1×22+2×23+…+n×2n+1．②
由①-②得-Sn=21+22+…+2n-n×2n+1．
∴Sn=(n-1)2n+1+2．

点评：熟练掌握等差数列的通项公式、“错位相减法”和等比数列的前n项和公式是解题的关键．