题目内容
20．
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点．（1）求证：A1B1∥平面ABE；
（2）求证：B1D1⊥AE．
分析 （1）直接利用直线与平面平行的判定定理证明即可．
（2）连接A1C1，AC．证明B1D1⊥平面AA1C1C，即可证明结论．
解答 
证明：（1）A1B1∥AB，AC?平面ABE，A1B1?平面ABE⇒A1B1∥平面ABE．（6分）
（2）连接A1C1，AC．
∵AA1⊥平面A1B1C1D1，而B1D1?平面A1B1C1D1，则AA1⊥B1D1，
又B1D1⊥A1C1，且AA1∩A1C1=A1，则B1D1⊥平面AA1C1C，
而AE?平面AA1C1C，则B1D1⊥AE．（12分）
点评 本题考查直线与平面平行以及直线与平面垂直的性质定理的应用，考查逻辑推理能力．
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| A． | $\frac{5\sqrt{43}}{86}$ | B． | $\frac{\sqrt{21}}{21}$ | C． | $\frac{3\sqrt{21}}{21}$ | D． | $\frac{3\sqrt{21}}{42}$ |
如图，四边形OABC，ODEF，OGHI是三个全等的菱形，∠COD=∠FOG=∠AOI=60°，P为各菱形边上的动点，设$\overrightarrow{OP}=x\overrightarrow{OD}+y\overrightarrow{OH}$，则x+y的最大值为4．