Question

14．设p、q是实数，则表达式u=（p+q）²+（$\sqrt{2-{p}^{2}}$-$\frac{9}{q}$）²的最小值为8．

Answer 1

分析 u=（p+q）²+（$\sqrt{2-{p}^{2}}$-$\frac{9}{q}$）²，表示两点M$（p，\sqrt{2-{p}^{2}}）$，N$（-q，\frac{9}{q}）$之间的距离的平方．由于点M满足：x²+y²=2，点N满足：xy=-9．设N$（-q，\frac{9}{q}）$是曲线xy=-9上的任意一点．利用基本不等式的性质可得：|ON|=$\sqrt{{q}^{2}+\frac{81}{{q}^{2}}}$≥3$\sqrt{2}$，即可得出．

解答 解：要使$\sqrt{2-{p}^{2}}$由意义，则p²≤2．
u=（p+q）²+（$\sqrt{2-{p}^{2}}$-$\frac{9}{q}$）²，表示两点M$（p，\sqrt{2-{p}^{2}}）$，N$（-q，\frac{9}{q}）$之间的距离的平方．
由于点M满足：x²+y²=2，点N满足：xy=-9．
设N$（-q，\frac{9}{q}）$是曲线xy=-9上的任意一点．
则|ON|=$\sqrt{{q}^{2}+\frac{81}{{q}^{2}}}$≥3$\sqrt{2}$，当且仅当q²=9时取等号，
∴M，N两点之间的距离的最小值为3$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$．
∴u=（p+q）²+（$\sqrt{2-{p}^{2}}$-$\frac{9}{q}$）²的最小值为8．
故答案为：8．

点评 本题考查了曲线上两点之间的距离的最值、两点之间的距离公式、曲线的方程、基本不等式的性质，考查了数形结合思想方法、转化能力与计算能力，属于中档题．