题目内容
【题目】如图,四边形是梯形,四边形
是矩形,且平面
平面
,
,
,
是线段
上的动点.
(1)试确定点的位置,使
平面
,并说明理由;
(2)在(1)的条件下,求平面与平面
所成锐二面角的余弦值.
【答案】(1)是线段
的中点,理由见解析 (2)
【解析】
(1)当是线段
的中点时,
平面
.连结
,交
于
,连结
,利用三角形中位线定理能够证明
平面
.
(2)法一:过点作平面
与平面
的交线
,过点
作
于
,过
作
于
,连结
,由已知条件推导出
是平面
与平面
所成锐二面角的平面角,由此能求出所求二面角的余弦值.
法二:分别以,
,
的方向为
,
,
轴,建立空间直角坐标系
,利用向量法能求出平面
与平面
所成锐二面角的余弦值.
解:(1)当是线段
的中点时,
平面
.
证明如下:
连结,交
于
,连结
,
由于分别是
,
的中点,所以
,
由于平面
,又
平面
,
所以平面
.
(2)方法1:过点作平面
与平面
的交线
,
由于平面
,可知
,
过点作
于
,
因为平面平面
,
,
所以平面
,则平面
平面
,
所以平面
,
过作
于
,连结
,则直线
平面
,
所以,
故是平面
与平面
所成锐二面角的平面角.
设,则
,
,
,则
,
所以,即所求二面角的余弦值为
.
方法2:
因为平面平面
,
,所以
平面
,
可知两两垂直,分别以
的方向为
轴,建立空间直角坐标系
.
设,则
,
,
,
,设平面
的法向量
,
则所以
令,得平面
的一个法向量
,
取平面的法向量
,
由,
故平面与平面
所成锐二面角的余弦值为
.
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