题目内容
已知椭圆C：
+
=1(a＞b＞0)的离心率
，椭圆C上任一点到两个焦点的距离和为4，直线l过点P（1，0）与椭圆C交于不同的两点A，B．
（I）求椭圆C的方程；
（II） 若
=λ
，试求实数λ的取值范围．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| ||
| 2 |
（I）求椭圆C的方程；
（II） 若
| AP |
| PB |
分析：（I）由椭圆C：
+
=1(a＞b＞0)的离心率
，解得a=2，c=
，b=1，由此能求出椭圆C的方程．
（II）直线l过点P（1，0），当直线l的斜率k不存在时，直线l的方程是x=1，此时
=
，λ=1；当直线l的斜率k存在时，设l的方程是y=k（x-1），当k=0时，λ取最大值3或取最小值
．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| ||
| 2 |
| 3 |
（II）直线l过点P（1，0），当直线l的斜率k不存在时，直线l的方程是x=1，此时
| AP |
| PB |
| 1 |
| 3 |
解答：解：（I）∵椭圆C：
+
=1(a＞b＞0)的离心率
，
椭圆C上任一点到两个焦点的距离和为4，
∴
，
解得a=2，c=
，b=1，
∴椭圆C的方程为：
+y2=1．
（II）∵直线l过点P（1，0），
①当直线l的斜率k不存在时，直线l的方程是x=1，
此时
=
，λ=1；
②当直线l的斜率k存在时，设l的方程是y=k（x-1），
由
，得（4k2+1）x2-8k2x+4k2-4=0，
△=64k4-4（4k2+1）（4k2-4）=48k2+16＞0，直线与圆恒有公共点，下对参数的取值范围进行讨论
当k=0时，A（2，0），B（-2，0），P（1，0），或B（2，0），A（-2，0），P（1，0），
当A（2，0），B（-2，0），P（1，0）时，
=(-1，0)，
=(-3，0)
λmin=
=
；
当B（2，0），A（-2，0），P（1，0）时，
=(3，0)，
=(1，0)
λmax=
=3．
∴实数λ的取值范围是[
，3]．
故实数λ的取值范围是[
，3]．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| ||
| 2 |
椭圆C上任一点到两个焦点的距离和为4，
∴
|
解得a=2，c=
| 3 |
∴椭圆C的方程为：
| x2 |
| 4 |
（II）∵直线l过点P（1，0），
①当直线l的斜率k不存在时，直线l的方程是x=1，
此时
| AP |
| PB |
②当直线l的斜率k存在时，设l的方程是y=k（x-1），
由
|
△=64k4-4（4k2+1）（4k2-4）=48k2+16＞0，直线与圆恒有公共点，下对参数的取值范围进行讨论
当k=0时，A（2，0），B（-2，0），P（1，0），或B（2，0），A（-2，0），P（1，0），
当A（2，0），B（-2，0），P（1，0）时，
| AP |
| PB |
λmin=
| ||
|
| 1 |
| 3 |
当B（2，0），A（-2，0），P（1，0）时，
| AP |
| PB |
λmax=
| ||
|
∴实数λ的取值范围是[
| 1 |
| 3 |
故实数λ的取值范围是[
| 1 |
| 3 |
点评：本题考查椭圆的方程和求实数λ的取值范围，考查直线和椭圆的位置关系及相关知识，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
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