题目内容

(2009•青浦区二模)(理)已知数列{an},对于任意的正整数n,an=
1  (1≤n≤2009)
-2•(
1
3
)n-2009 (n≥2010)
,设Sn表示数列{an}的前n项和.下列关于
lim
n→+∞
Sn
的结论,正确的是(  )
分析:an=
1  (1≤n≤2009)
-2•(
1
3
)n-2009 (n≥2010)
,知a1=a2=a3=…=a2009=1,a2010=-
2
3
a2011=-
2
9
a2012=-
2
27
,…所以Sn=1× 2009+
-
2
3
[1- (
1
3
)
n-2009
 ]
1-
1
3
=2008+(
1
3
)
n-2009
,由此能求出
lim
n→+∞
Sn
解答:解:∵an=
1  (1≤n≤2009)
-2•(
1
3
)n-2009 (n≥2010)

∴a1=a2=a3=…=a2009=1,
a2010=-
2
3

a2011=-
2
9

a2012=-
2
27


Sn=1× 2009+
-
2
3
[1- (
1
3
)
n-2009
 ]
1-
1
3

=2008+(
1
3
)
n-2009

lim
n→+∞
Sn
=
lim
n→∞
[2008+(
1
3
)
n-2009
]

=2008.
故选B.
点评:本题考查数列的极限的求法,解题时要认真审题,注意挖掘题设中的隐含条件,解题的关键是正确求出Sn
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