Question

在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若（a+b+c）（b+c-a）=3bc．
（1）求角A的值；
（2）在（1）的结论下，若0≤x≤

π

2

，求y=cos²x+sinA•sin2x的最值．

Answer 1

分析：（1）将（a+b+c）（b+c-a）=3bc．变形为（b+c）²-a²=3bc，再用余弦定理求解．
（2）先降幂，再用辅助角法转化为一个角的一种三角函数求最值．

解答：解：（1）（b+c）²-a²=b²+2bc+c²-a²=3bc，2bccosA=bc，
所以cosA=

1

2

，A=

π

3

（7分）
（2）y=

1+cos2x

2

+sinAsin2x=

1

2

+

1

2

cos2x+

3

2

sin2x=

1

2

+sin(2x+

π

6

)（10分）
因为0≤x≤

π

2

，0≤2x≤π，

π

6

≤2x+

π

6

≤

7

6

π，-

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1，（12分）
所以，0≤

1

2

+sin(2x+

π

6

)≤

3

2

，
即ymin=0，ymax=

3

2

（14分）

点评：本题主要考查三角形中的余弦定理和三角函数中的降幂公式和辅助角法．