题目内容
【题目】已知函数,
的在数集
上都有定义,对于任意的
,当
时,
或
成立,则称
是数集
上
的限制函数.
(1)求在
上的限制函数
的解析式;
(2)证明:如果在区间
上恒为正值,则
在
上是增函数;[注:如果
在区间
上恒为负值,则
在区间
上是减函数,此结论无需证明,可以直接应用]
(3)利用(2)的结论,求函数在
上的单调区间.
【答案】(1);(2)证明见解析;(3)见解析.
【解析】
(1)由题目给出的条件,构造,根据条件验证可得所求函数;
(2)运用反证法,即可得证;
(3)求得,根据第二问结论由
大于0,可得增区间;
小于0,可得减区间.
解:(1)任意的,
;
由于任意性:;
故构造;
由幂函数性质得在
单调递减,
且易得:,满足题意,
故:;
(2)运用反证法,即假设在
上不是增函数,
若在
上是减函数,可得
在区间
上恒为负值;
若在
上是常数函数,可得
在区间
上恒为零;
若在
上是有增有减,可得
在区间
上可能为正可能为负;
这与在区间
上恒为正值矛盾,故
在
上是增函数;
(3)任意的,当
,
,
构造;
任取,
,
,
,
故:,
是数集
上
的限制函数,
,解得
利用(2)结论,当函数单调递增,
,解得
利用(2)结论,当函数单调递减.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】2019年国际篮联篮球世界杯,将于2019年在的北京、广州、南京、上海、武汉、深圳、佛山、东莞八座城市举行.为了宣传世界杯,某大学从全校学生中随机抽取了名学生,对是否收看篮球世界杯赛事的情况进行了问卷调查,统计数据如下:
会收看 | 不会收看 | |
男生 | 60 | 20 |
女生 | 20 | 20 |
(1)根据上表说明,能否有的把握认为收看篮球世界杯赛事与性别有关?
(2)现从参与问卷调查且收看篮球世界杯赛事的学生中,采用按性别分层抽样的方法选取人参加2019年国际篮联篮球世界杯赛志愿者宣传活动.
(i)求男、女学生各选取多少人;
(ii)若从这人中随机选取
人到校广播站开展2019年国际篮联篮球世界杯赛宣传介绍,求恰好选到
名男生的概率.
附:,其中
.