题目内容
△ABC为正三角形,P是△ABC所在平面外一点,且PA=PB=PC,△APB与△ABC的面积之比为2:3,则二面角P-AB-C的大小为
60°
60°
.分析:取AB的中点D,连接PD,CD,说明∠PDC即为二面角P-AB-C的平面角,根据已知中,△APB与△ABC的面积之比为2:3,解三角形PDC,即可求出答案.
解答:解:取AB的中点D,连接PD,CD,
由△ABC为正三角形可得CD⊥AB
由PA=PB可得PD⊥AB
则∠PDC即为二面角P-AB-C的平面角
设△ABC的边长为2,则,CD=
∵△APB与△ABC的面积之比为2:3
∴PD=
,则PC=
则cos∠PDC=
=
.
∴∠PDC=60°
二面角P-AB-C的大小为:60°.
故答案为:60°.
由△ABC为正三角形可得CD⊥AB
由PA=PB可得PD⊥AB
则∠PDC即为二面角P-AB-C的平面角
设△ABC的边长为2,则,CD=
3 |
∵△APB与△ABC的面积之比为2:3
∴PD=
2
| ||
3 |
| ||
3 |
则cos∠PDC=
PD2+CD2-PC2 |
2•PD•CD |
1 |
2 |
∴∠PDC=60°
二面角P-AB-C的大小为:60°.
故答案为:60°.
点评:本题考查二面角的平面角的求法,其中根据三垂线定理确定二面角的平面角是解答本题的关键.
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