Question

设直线l与抛物线y²=2px（p＞0）交于A，B两点，已知当直线l经过抛物线的焦点且与x轴垂直时，△OAB的面积为

1

2

（O为坐标原点）．
（1）求抛物线的方程；
（2）当直线l经过点P（a，0）（a＞0）且与x轴不垂直时，若在x轴上存在点C，使得△ABC为正三角形，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由条件可得|AB|=2p，O点到AB距离为

p

2

，结合△OAB的面积为

1

2

，即可求得抛物线的方程；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中点为M（x₀，y₀），设C（t，0），直线l的方程为x=my+a（m≠0），代入y²=2x，可得y₀=m，从而x₀=m²+a，根据△ABC为正三角形，可得MC⊥AB，|MC|=

3

2

|AB|，从而可确定a的取值范围．

解答：解：（1）由条件可得|AB|=2p，O点到AB距离为

p

2

，
∴S△OAB=

1

2

×2p×

p

2

=

p2

2

，
∵△OAB的面积为

1

2

，∴p=1，
∴抛物线的方程为y²=2x．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中点为M（x₀，y₀），
又设C（t，0），直线l的方程为x=my+a（m≠0），代入y²=2x得y²-2my-2a=0．
∴△=4（m²+2a），y₁+y₂=2m，y₁y₂=-2a．
所以y₀=m，从而x₀=m²+a．
∵△ABC为正三角形，∴MC⊥AB，|MC|=

3

2

|AB|．
由MC⊥AB，得

y0

x0-t

×

1

m

=-1，所以t=m²+a+1．
由|MC|=

3

2

|AB|，得

(m2+a-t)2+m2

=

3

2

×

(m2+1)×4(m2+2a)

，
又∵t=m²+a+1，
∴1+m²=3（m²+1）（m²+2a），
从而a=

1

6

-

m2

2

．
∵m≠0，∴m²＞0，∴0＜a＜

1

6

．
∴a的取值范围为（0，

1

6

）．

点评：本题考查抛物线的标准方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，综合性强．