题目内容

在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,若实数λ,μ满足a+b=λc,ab=μc2,则称数对(λ,μ)为△ABC的“Hold对”,现给出下列四个命题:
①若△ABC的“Hold对”为(2,1),则△ABC为正三角形;
②若△ABC的“Hold对”为(2,
8
9
)
,则△ABC为锐角三角形;
③若△ABC的“Hold对”为(
7
6
1
3
)
,则△ABC为钝角三角形;
④若△ABC是以C为直角顶点的直角三角形,则以“Hold对”(λ,μ)为坐标的点构成的图形是矩形,其面积为
2
-1
2

其中正确的命题是
①③
①③
(填上所有正确命题的序号).
分析:由△ABC的“Hold对”为(2,1),知
a+b=2c
ab=c2
,解得△ABC为正三角形;由△ABC的“Hold对”为(2,
8
9
)
,知
a+b=2c
ab=
8
9
c2
,解得△ABC为钝角三角形;由△ABC的“Hold对”为(
7
6
1
3
)
,知
a+b=
7
6
c
ab=
1
3
c2
,解得△ABC为钝角三角形;△ABC是以C为直角顶点的直角三角形,则以“Hold对”(λ,μ)为坐标的点构成的图形不一定是矩形.
解答:解:∵△ABC的“Hold对”为(2,1),
a+b=2c
ab=c2

解得a=b=c,
∴△ABC为正三角形,
故①正确;
∵△ABC的“Hold对”为(2,
8
9
)

a+b=2c
ab=
8
9
c2

解得a2+b2=
ab
2

∴cosC=
a2+b2-c2
2ab
=
ab
2
-
9
8
ab
2ab
=-
5
16
<0,
∴△ABC为钝角三角形,故②不正确;
∵△ABC的“Hold对”为(
7
6
1
3
)

a+b=
7
6
c
ab=
1
3
c2

解得a2+b2=25ab×
1
12
=
25
12
ab

∴cosC=
a2+b2-c2
2ab
=
25
12
ab-3ab
2ab
=-
11
24
<0,
∴△ABC为钝角三角形,故③正确;
△ABC是以C为直角顶点的直角三角形,
则解得(λ,μ)之间满足一个关系式:“1+2μ=λ的平方”这样一个关系式,
图象是抛物线,不是矩形.故构成的图形不一定是矩形,
故④不正确.
故答案为:①③.
点评:本题考查命题的真假判断,解题时要认真审题,仔细解答,注意正确理解新定义.
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