Question

已知点P₁(2，3)、P₂(－4，5)和A(－1，2)，求过点A且与点P₁、P₂距离相等的直线方程．

Answer 1

y－2＝－(x＋1)或x＝－1.

(解法1)设所求直线方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.由点P₁、P₂到直线的距离相等得.化简得，
则有3k－1＝－3k－3或3k－1＝3k＋3，
解得k＝－或方程无解．
方程无解表明这样的k不存在，但过点A，所以直线方程为x＝－1，它与P₁、P₂的距离都是3.
∴所求直线方程为y－2＝－ (x＋1)或x＝－1.
(解法2)设所求直线为l，由于l过点A且与P₁、P₂距离相等，所以l有两种情况，如下图：

①当P₁、P₂在l的同侧时，有l∥P₁P₂，此时可求得l的方程为y－2＝ (x＋1)，即y－2＝－(x＋1)；
②当P₁、P₂在l的异侧时，l必过P₁、P₂的中点(－1，4)，此时l的方程为x＝－1.
∴所求直线的方程为y－2＝－(x＋1)或x＝－1.