Question

已知椭圆：的长轴长为4，且过点．
（１）求椭圆的方程；
（２）设、、是椭圆上的三点，若，点为线段的中点，、两点的坐标分别为、，求证：．

Answer 1

（1）；（2）详见试题解析．

试题分析：（1）由已知列方程组可求得的值，进而可得椭圆的标准方程；（2）利用平面向量的坐标运算和待定系数法可得线段的中点的轨迹是以，为焦点的椭圆，有椭圆的定义最终可得．
试题解析：(1)由已知 　　　　　　　　　　　　　　　　　    ２分
解得.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　            ４分
椭圆的方程为．　　　　　　　　　　　　　　　　           ５分
（２）设，则，．   6分
由,
得,即．    ７分
是椭圆上一点，所以
，　　　　　　　　　　　      ８分
即
得，故．    ９分
又线段的中点的坐标为，　　　　　　　      10分
，11分
线段的中点在椭圆上．　        12分
椭圆的两焦点恰为， 　　       13分
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　          14分