题目内容
如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD底面ABCD,侧棱
,底面ABCD为直角梯形,其中BC//AD,AB
AD,AD=2,AB=BC=l,E为AD中点.
(1)求证:PE平面ABCD:
(2)求异面直线PB与CD所成角的余弦值:
(3)求平面PAB与平面PCD所成的二面角.
(1)证明:在中,
,
为
中点,
.又侧面
底面
,平面
平面
,
平面
.
平面
;(2)
;(3)
.
解析试题分析:(1)由题意可根据面面垂直的性质定理来证,已知侧面底面
,并且相交于
,而
为等腰直角三角形,
为
中点,所以
,即
垂直于两个垂直平面的交线,且
平面
,所以
平面
;(2)连结
,由题意可知
是异面直线
与
所成的角,并且三角形
是直角三角形,
,
,
,由余弦定理得
;(3)利用体积相等法可得解,设点
到平面
的距离
,即由
,得
, 而在
中,
,所以
,因此
,又
,
,从而可得解.
(1)证明:在中,
,
为
中点,
. 2分
又侧面底面
,平面
平面
,
平面
.
平面
. 4分
(2)解:连结,在直角梯形
中,
,
,有
且
.所以四边形
平行四边形,
.由(1)知
,
为锐角,所以
是异面直线
与
所成的角. 7分
,在
中,
.
.在
中,
.在
中,
.
.
所以异面直线与
所成的角的余弦值为
. 9分
(3)解:由(2)得

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