题目内容

若椭圆C： $数学公式$ 的离心率e为 $数学公式$ ，且椭圆C的一个焦点与抛物线y²=-12x的焦点重合．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点M（2，0），点Q是椭圆上一点，当|MQ|最小时，试求点Q的坐标；
（3）设P（m，0）为椭圆C长轴（含端点）上的一个动点，过P点斜率为k的直线l交椭圆与A，B两点，若|PA|²+|PB|²的值仅依赖于k而与m无关，求k的值．

解：（1）由题意可得：抛物线y²=-12x的焦点（-3，0），
∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，∴a=5，∴ $\text{[math]}$ =4
∴椭圆C的方程为 $\text{[math]}$ ；
（2）设Q（x，y），-5≤x≤5
∴|MQ|²=（x-2）²+y²= $\text{[math]}$
∵对称轴为x= $\text{[math]}$ ＞5，∴x=5时，|MQ|²取得最小值
∴当|MQ|最小时，点Q的坐标为（5，0）；
（3）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线l：y=k（x-m）
直线代入椭圆方程，消去y可得（25k²+16）x²-50mk²x+25m²k²-400=0
∴x₁+x₂= $\text{[math]}$ ，x₁x₂= $\text{[math]}$
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂）-2km=- $\text{[math]}$ ，y₁y₂= $\text{[math]}$
∴|PA|²+|PB|²= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =（k²+1）• $\text{[math]}$
∵|PA|²+|PB|²的值仅依赖于k而与m无关，
∴512-800k²=0，解得k= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）先求出焦点的坐标，再由离心率求得半长轴的长，从而得到短半轴长，即可写出椭圆的标准方程；
（2）用坐标表示出|MQ|²，利用配方法可得结论；
（3）设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，表示出|PA|²+|PB|²，根据|PA|²+|PB|²的值仅依赖于k而与m无关，可得等式，从而可求k的值．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查配方法的运用，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，正确运用韦达定理是关键．

练习册系列答案

相关题目

若椭圆C：的离心率e为，且椭圆C的一个焦点与抛物线y²＝－12x的焦点重合．

(1)求椭圆C的方程；

(2)设点M(2，0)，点Q是椭圆上一点，当|MQ|最小时，试求点Q的坐标；

(3)设P(m，0)为椭圆C长轴(含端点)上的一个动点，过P点斜率为k的直线l交椭圆与A，B两点，若|PA|²＋|PB|²的值仅依赖于k而与m无关，求k的值．

若椭圆C：的离心率e为, 且椭圆C的一个焦点与抛物线y²＝－12x的焦点重合．

(1) 求椭圆C的方程；

(2) 设点M(2,0), 点Q是椭圆上一点, 当|MQ|最小时, 试求点Q的坐标；

(3) 设P(m,0)为椭圆C长轴（含端点）上的一个动点, 过P点斜率为k的直线l交椭圆与

A,B两点, 若|PA|²＋|PB|²的值仅依赖于k而与m无关, 求k的值．

椭圆C：

的离心率e=

，且过点P（1，

）．
（l）求椭圆C的方程；
（2）若斜率为1的直线l 与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，且△OAB的面积为

，求l的方程．

若椭圆C：的离心率e为，且椭圆C的一个焦点与抛物线y²＝－12x的焦点重合．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点M(2,0)，点Q是椭圆上一点，当|MQ|最小时，试求点Q的坐标；
（3）设P(m,0)为椭圆C长轴（含端点）上的一个动点，过P点斜率为k的直线l交椭圆与A,B两点，若|PA|²＋|PB|²的值仅依赖于k而与m无关，求k的值．

试题分类