题目内容
椭圆C:


(l)求椭圆C的方程;
(2)若斜率为1的直线l 与椭圆C交于A,B两点,O为坐标原点,且△OAB的面积为

【答案】分析:(1)利用椭圆的离心率e=
,且过点P(1,
),建立方程,求得几何量,由此可得椭圆的方程;
(2)设出l的方程代入椭圆方程,利用韦达定理,求得|AB|,求出O到直线l的距离,利用△OAB的面积为
,即可求l的方程.
解答:解:(1)由题意有:
,可求得:a=2,b=
,
所以,椭圆C的方程:
(2)设直线l:y=x+n,由
,消去y可得:7x2+8nx+4n2-12=0 ①
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-
,x1x2=
,
所以|AB|=
=
又O到直线l的距离为d=
所以
,
解得n=±1或n=±
,代入①式,△>0,
所以直线l为:y=x±1或y=x±
点评:本题考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查韦达定理的运用,考查三角形面积的计算,考查学生的计算能力,正确运用韦达定理是关键.


(2)设出l的方程代入椭圆方程,利用韦达定理,求得|AB|,求出O到直线l的距离,利用△OAB的面积为

解答:解:(1)由题意有:


所以,椭圆C的方程:

(2)设直线l:y=x+n,由

设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-


所以|AB|=


又O到直线l的距离为d=

所以

解得n=±1或n=±

所以直线l为:y=x±1或y=x±

点评:本题考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查韦达定理的运用,考查三角形面积的计算,考查学生的计算能力,正确运用韦达定理是关键.

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