题目内容

如图，有三个生活小区（均可看成点）分别位于A、B、C三点处，AB=AC，A到线段BC的距离AO=40，∠ABO=
2π
7
（参考数据：tan
2π
7
≈
2
3
3
）．今计划建一个生活垃圾中转站P，为方便运输，P准备建在线段AO（不含端点）上．
（I）设PO=x（0＜x＜40），试将P到三个小区距离的最远者S表示为x的函数，并求S的最小值；
（II）设∠PBO=a（0＜α＜
2π
7
），试将P到三个小区的距离之和y表示为a的函数，并确定当a取何值时，可使y最小？
分析：（1）利用直角三角形的边角关系及其勾股定理、函数的单调性即可得出；
（2）根据条件列出其表达式，利用导数得出其单调性，进而即可得出最小值．
解答：解：（1）在Rt△AOB中，∵AO=40，∠ABO=
2π
7
，∴BO=
AO
tan
2π
7
=
40
2
3
3
=20
3
，
∴PA=40-x，PB=PC=
1200+x2
，
①若PA≥PB，即40-x≥
1200+x2
，即0＜x≤5时，S=40-x；
②若PA＜PB，即40-x＜
1200+x2
，即5＜x＜40时，S=
1200+x2
．
从而S=
40-x，当0＜x≤5时
1200+x2
，当5＜x＜40时
．
当0＜x≤5时，S=40-x单调递减，∴Smin=35；
当5＜x＜40时，S=
1200+x2
，是增函数，∴S＞S（5）=35．
综上可知：当x=5时，S取得最小值为35．
（2）在Rt△BOP中，BP=
BO
cosα
=
20
3
cosα
，PO=BOtanα=20
3
tanα，
∴y=2BP+（AO-PO）=40+2BP-PO=
40
3
cosα
+40-20
3
tanα=40+20
3
×
2-sinα
cosα

∵y′=20
3
×
2sinα-1
cos2α
，令y′=0，即sinα=
1
2
，从而α=
π
6
，
当0＜a＜
π
6
时，y′＜0；当
π
6
＜a＜
2π
7
时，y′＞0．
当α=
π
6
时，可使y最小．
点评：数列掌握勾股定理、利用导数研究函数的单调性是解题的关键．
练习册系列答案
相关题目
精英家教网有三个生活小区，分别位于A，B，C三点处，且AB=AC=20
7
，BC=40
3
．今计划合建一个变电站，为同时方便三个小区，准备建在BC的垂直平分线上的P点处，建立坐标系如图，且∠ABO≈
2
7
π．
（Ⅰ）若希望变电站P到三个小区的距离和最小，点P应位于何处？
（Ⅱ）若希望点P到三个小区的最远距离为最小，点P应位于何处？

（本题满分14分）

有三个生活小区,分别位于三点处，且，. 今计划合建一个变电站，为同时方便三个小区，准备建在的垂直平分线

上的点处，建立坐标系如图，且.

(Ⅰ)  若希望变电站到三个小区的距离和最小，

点应位于何处？

(Ⅱ)  若希望点到三个小区的最远距离为最小，

点应位于何处？

                                      

(本小题满分14分)如图,有三个生活小区(均可看成点)分别位于三点处,,到线段的距离,(参考数据: ). 今计划建一个生活垃圾中转站,为方便运输,准备建在线段(不含端点)上.

（1）设,试将到三个小区距离的最远者表示为的函数,并求的最小值；

（2）设,试将到三个小区的距离之和表示为的函数,并确定当取何值时,可使最小?

 
如图，有三个生活小区（均可看成点）分别位于A、B、C三点处，AB=AC，A到线段BC的距离AO=40，∠ABO=（参考数据：tan）．今计划建一个生活垃圾中转站P，为方便运输，P准备建在线段AO（不含端点）上．
（I）设PO=x（0＜x＜40），试将P到三个小区距离的最远者S表示为x的函数，并求S的最小值；
（II）设∠PBO=a（0），试将P到三个小区的距离之和y表示为a的函数，并确定当a取何值时，可使y最小？

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网