Question

已知平面上的动点Q到定点F（0，1）的距离与它到定直线y=3的距离相等．
（1）求动点Q的轨迹C₁的方程；
（2）过点F作直线l₁交C₂：x²=4y于A，B两点（B在第一象限）．若|BF|=2|AF|，求直线l₁的方程．
（3）试问在曲线C₁上是否存在一点M，过点M作曲线C₁的切线l₂交抛物线C₂于D，E两点，使得DF⊥EF？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）设出Q的坐标，根据条件推断出x和y的关系式，化简求得x和y的关系，即曲线的方程．
（2）设出A，B，利用抛物线的定义，表示出|AF|和|BF|，进而利用|BF|=2|AF|，求得y₂和y₁的关系，令直线AB的方程x=t（y-1），与抛物线方程联立消去x，表示出y₁+y₂和y₁y₂，联立求得y₁和y₂，代入方程②求得t，进而求得t．则直线AB的方程可得．
（3）设出M的坐标，对抛物线方程求导，进而求得切线l₂的斜率，表示出l₂的方程，同时利用m和n的关系式，表示出切线的方程与抛物线方程联立，设D，E的坐标，表示出x₁+x₂和x₁x₂，根据FD⊥FE，推断出x₁x₂+（y₁-1）（y₂-1）=0获得关于m的方程，求得m，进而通过m和n的关系式求得n．
解答：解：（1）设Q（x，y），
由条件有，
化简得曲线C₁的方程为：x²=-4y+8．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则|AF|=y₁+1，|BF|=y₂+1，
由|BF|=2|AF|，得y₂=2y₁+1①
令直线AB方程为x=t（y-1）
由，
则
由①和③联立解得：
代入②得：t²=8
依题意直线AB的斜率大于0，即t＞0，
所以
故直线AB的方程为
（3）设M（m，n），由于，
则切线l₂的斜率为，
切线l₂的方程为，
又，
则切线l的方程为．
由．，
设D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），
则x₁+x₂=-2m
x₁x₂=-m²-8，
∴，
．
又FD⊥FE，则x₁x₂+（y₁-1）（y₂-1）=x₁x₂+y₁y₂-（y₁+y₂）+1=0，
则-m²-8+，
设t=m²+8，则有，即t²-40t+144=0，
得t=36，t=4（舍去）．
所以t=m²+8=36，得．
故存在点M满足题意，此时点M的坐标是．
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了分析推理和基本的运算能力．