Question

14．已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞1）的一个焦点为F₁（-$\sqrt{3}$，0），M（1，y）（y＞0）为椭圆上的一点，△MOF₁的面积为$\frac{3}{4}$，求椭圆C的标准方程．

Answer 1

分析 由△MOF₁的面积为$\frac{3}{4}$，可得$\frac{1}{2}×\sqrt{3}•y$=$\frac{3}{4}$，解得y，可得M$（1，\frac{\sqrt{3}}{2}）$，代入椭圆方程可得：$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{3}{4{b}^{2}}$=1，又c=$\sqrt{3}$，a²=b²+c²，联立解出即可得出．

解答 解：∵△MOF₁的面积为$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{1}{2}×\sqrt{3}•y$=$\frac{3}{4}$，解得y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴M$（1，\frac{\sqrt{3}}{2}）$，
代入椭圆方程可得：$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{3}{4{b}^{2}}$=1，
又c=$\sqrt{3}$，a²=b²+c²，
联立解得：c=$\sqrt{3}$，a=2，b=1．
∴椭圆C的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．