Question

9．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2sinθ，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=2+3t}\end{array}\right.$（t为参数）．
（1）写出直线l与曲线C的直角坐标方程；
（2）设曲线C经过伸缩变换$\left\{\begin{array}{l}{x′=2x}\\{y′=y}\end{array}\right.$得到曲线C′，再将曲线C′的图象向下平移一个单位，得到曲线C₀．设曲线C₀上任意一点M（x，y），求x+2$\sqrt{3}$y的最大值．

Answer 1

分析 （1）直接消去参数t得直线l的普通方程，根据ρ²=x²+y²可得曲线C的直角坐标方程；
（2）先根据伸缩变换得到曲线C′的方程，然后将曲线C′的图象向下平移一个单位，得到曲线C₀，设M的坐标代入x+2$\sqrt{3}$y，根据三角函数的性质可求出所求．

解答 解：（1）曲线C的极坐标方程是ρ=2sinθ，直角坐标方程为x²+y²=2y，
直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=2+3t}\end{array}\right.$，普通方程为3x-y-1=0；
（2）伸缩变换$\left\{\begin{array}{l}{x′=2x}\\{y′=y}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}x′}\\{y=y′}\end{array}\right.$，代入x²+y²=2y可得$\frac{x{′}^{2}}{4}$+（y′-1）²=1，
将曲线C′的图象向下平移一个单位，得到曲线C₀：$\frac{x{′}^{2}}{4}$+（y′-2）²=1，
设x′=2cosα，y′=2+sinα，
∴x+2$\sqrt{3}$y=2cosα+2$\sqrt{3}$（2+sinα）=4$\sqrt{3}$+2$\sqrt{13}$sin（α+θ），
∴x+2$\sqrt{3}$y的最大值是4$\sqrt{3}$+2$\sqrt{13}$．

点评 本题主要考查了极坐标方程，参数方程化直角坐标方程，以及椭圆的参数方程在求最值上的应用和三角函数求出最值，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．