题目内容

选修4-2:矩阵与变换:
已知矩阵A=
30
11

(1)求矩阵A的特征值和特征向量;
(2)求A的逆矩阵A-1
分析:(1)先根据特征值的定义列出特征多项式,令f(λ)=0解方程可得特征值,再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量.
(2)直接利用逆矩阵的公式A-1=
d
ad-bc
-b
ad-bc
-c
ad-bc
a
ad-bc
进行求解即可.
解答:解:(1)矩阵M的特征多项式为f(λ)=
.
λ-30
-1λ-1
.
=λ2-4λ+3,(2分)
令f(λ)=0,解得λ1=1,λ2=3,(4分)
将λ1=1代入二元一次方程组
(λ-3)•x+0•y=0
-x+(λ-1)•y=0

解得x=0,(6分)
所以矩阵M属于特征值1的一个特征向量为
0
1
;(8分)
同理,矩阵M属于特征值2的一个特征向量为
2
1
(10分)
(2)∵A=
30
11

∴A-1=
d
ad-bc
-b
ad-bc
-c
ad-bc
a
ad-bc
=
1
3
0
-
1
3
1
点评:本题主要考查来了矩阵特征值与特征向量的计算等基础知识,以及逆矩阵的求解,同时考查了运算求解的能力,属于基础题.
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