Question

【题目】某单位决定建造一批简易房（房型为长方体状，房高2.5米），前后墙用2.5米高的彩色钢板，两侧用2.5米高的复合钢板，两种钢板的价格都用长度来计算（即：钢板的高均为2.5米，用钢板的长度乘以单价就是这块钢板的价格），每米单价：彩色钢板为450元，复合钢板为200元．房顶用其它材料建造，每平方米材料费为200元．每套房材料费控制在32000元以内．
（1）设房前面墙的长为x，两侧墙的长为y，所用材料费为p，试用x，y表示p；
（2）在材料费的控制下简易房面积S的最大值是多少？并指出前面墙的长度x应为多少米时S最大．

Answer 1

【答案】
（1）解：依题得，p=2x×450+2y×200+xy×200=900x+400y+200xy

即p=900x+400y+200xy

（2）解：∵S=xy，∴p=900x+400y+200xy≥ +200S=200S+1200 ，

又因为p≤3200，所以200S+1200 ≤3200，

解得﹣16≤ ≤10，

∵S＞0，∴0＜S≤100，当且仅当 ，即x= 时S取得最大值

【解析】（1）根据题意可分别求得前面墙，两侧墙和房顶的费用，三者相加即可求得P．（2）利用P的表达式和基本不等式求得关于 的不等式关系，求得 的范围，以及等号成立条件求得x的值．