题目内容
【题目】已知数列{an}满足an=3n﹣2,f(n)= + +…+ ,g(n)=f(n2)﹣f(n﹣1),n∈N* .
(1)求证:g(2)> ;
(2)求证:当n≥3时,g(n)> .
【答案】
(1)
证明:g(2)=f(4)﹣f(1)
=1+ + + ﹣1= + + = > ;
(2)当n≥3时,g(n)=f(n2)﹣f(n﹣1)
=1+ +…+ ﹣(1+ +…+ )
= + +…+ ,
运用数学归纳法证明.
当n=3时,g(3)= + + +…+ > 成立
(2)
证明:假设n=k时,g(k)> ,即有 + +…+ > ,
则n=k+1时,g(k+1)= +…+
= + +…+ + +…+ ﹣
=g(k)+ +…+ ﹣ ,
可得 +…+ ﹣ >0,又g(k)> ,
即有n=k+1时,g(k+1)> .
故当n≥3时,g(n)> .
【解析】(1)g(2)=f(4)﹣f(1)=1+ + + ﹣1,即可得证;(2)求出g(n),运用数学归纳法及不等式的性质,即可得证.
【考点精析】通过灵活运用函数的值和不等式的证明,掌握函数值的求法:①配方法(二次或四次);②“判别式法”;③反函数法;④换元法;⑤不等式法;⑥函数的单调性法;不等式证明的几种常用方法:常用方法有:比较法(作差,作商法)、综合法、分析法;其它方法有:换元法、反证法、放缩法、构造法,函数单调性法,数学归纳法等即可以解答此题.
【题目】某地区2008年至2014年农村居民家庭纯收入y(单位:千元)的数据如下表:
年份 | 2008 | 2009 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 |
年份代号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
人均纯收入y | 2.9 | 3.3 | 3.6 | 4.4 | 4.8 | 5.2 | 5.9 |
(Ⅰ)求y关于的线性回归方程;
(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回归方程,分析2008年至2014年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2016年农村居民家庭人均纯收入.
附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:,.
【题目】某人事部门对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计,绘制的频率分布直方图如图所示.规定80分以上者晋级成功,否则晋级失败(满分为100分).
(1)求图中的值;
(2)估计该次考试的平均分 (同一组中的数据用该组的区间中点值代表);
(3)根据已知条件完成下面2×2列联表,并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关.
晋级成功 | 晋级失败 | 合计 | |
男 | 16 | ||
女 | 50 | ||
合计 |
参考公式:,其中
0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | |
0.780 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 |