题目内容

【题目】已知数列{an}满足an=3n﹣2,f(n)= + +…+ ,g(n)=f(n2)﹣f(n﹣1),n∈N*
(1)求证:g(2)>
(2)求证:当n≥3时,g(n)>

【答案】
(1)

证明:g(2)=f(4)﹣f(1)

=1+ + + ﹣1= + + =

(2)当n≥3时,g(n)=f(n2)﹣f(n﹣1)

=1+ +…+ ﹣(1+ +…+

= + +…+

运用数学归纳法证明.

当n=3时,g(3)= + + +…+ 成立


(2)

证明:假设n=k时,g(k)> ,即有 + +…+

则n=k+1时,g(k+1)= +…+

= + +…+ + +…+

=g(k)+ +…+

可得 +…+ >0,又g(k)>

即有n=k+1时,g(k+1)>

故当n≥3时,g(n)>


【解析】(1)g(2)=f(4)﹣f(1)=1+ + + ﹣1,即可得证;(2)求出g(n),运用数学归纳法及不等式的性质,即可得证.
【考点精析】通过灵活运用函数的值和不等式的证明,掌握函数值的求法:①配方法(二次或四次);②“判别式法”;③反函数法;④换元法;⑤不等式法;⑥函数的单调性法;不等式证明的几种常用方法:常用方法有:比较法(作差,作商法)、综合法、分析法;其它方法有:换元法、反证法、放缩法、构造法,函数单调性法,数学归纳法等即可以解答此题.

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