Question

【题目】在等比数列{an}中，an＞0，（n∈N*），公比q∈（0，1），且a1a5+2a3a5+a2a8=25，a3与a5的等比中项为2．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=log2an ， 数列{bn}的前n项和为Sn ， 当 最大时，求n的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：因为a1a5+2a3a5+a2a8=25，所以，a32+2a3a5+a52=25

又an＞o，a3+a5=5，

又a3与a5的等比中项为2，所以，a3a5=4

而q∈（0，1），所以，a3＞a5，所以，a3=4，a5=1，q= ，a1=16，

所以，an=16× =25﹣n

（2）解：bn=log2an=5﹣n，所以，bn+1﹣bn=﹣1，

所以，{bn}是以4为首项，﹣1为公差的等差数列

所以sn= =

所以，当n≤8时， ＞0，

当n=9时， =0，

n＞9时， ＜0，

当n=8或9时， 最大

【解析】（1）利用等比数列的性质把a1a5+2a3a5+a2a8=25转化为a32+2a3a5+a52=25，求出a3+a5=5，再利用a3与a5的等比中项为2即可首项和公比，进而求出数列{an}的通项公式；（2）先利用（1）求出数列{bn}的通项公式以及前n项和为Sn ， ，进而得到 的通项，即可求出当 最大时，对应n的值．
【考点精析】利用等差数列的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知在等差数列{an}中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；相隔等距离的项组成的数列是等差数列．