题目内容
【题目】在等比数列{an}中,an>0,(n∈N*),公比q∈(0,1),且a1a5+2a3a5+a2a8=25,a3与a5的等比中项为2.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=log2an , 数列{bn}的前n项和为Sn , 当 最大时,求n的值.
【答案】
(1)解:因为a1a5+2a3a5+a2a8=25,所以,a32+2a3a5+a52=25
又an>o,a3+a5=5,
又a3与a5的等比中项为2,所以,a3a5=4
而q∈(0,1),所以,a3>a5,所以,a3=4,a5=1,q= ,a1=16,
所以,an=16× =25﹣n
(2)解:bn=log2an=5﹣n,所以,bn+1﹣bn=﹣1,
所以,{bn}是以4为首项,﹣1为公差的等差数列
所以sn=
=
所以,当n≤8时, >0,
当n=9时, =0,
n>9时, <0,
当n=8或9时, 最大
【解析】(1)利用等比数列的性质把a1a5+2a3a5+a2a8=25转化为a32+2a3a5+a52=25,求出a3+a5=5,再利用a3与a5的等比中项为2即可首项和公比,进而求出数列{an}的通项公式;(2)先利用(1)求出数列{bn}的通项公式以及前n项和为Sn , ,进而得到 的通项,即可求出当
最大时,对应n的值.
【考点精析】利用等差数列的性质对题目进行判断即可得到答案,需要熟知在等差数列{an}中,从第2项起,每一项是它相邻二项的等差中项;相隔等距离的项组成的数列是等差数列.
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