Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ABB₁A，ACC₁A₁均为正方形，∠BAC=90°，AB=2，点D₁是棱B₁C₁的中点．
（I）求证：A₁D₁⊥平面BB₁C₁C；
（II）求三棱锥C₁-A₁D₁C与多面体A₁B₁D₁CAB的体积的比值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题设条件推导出AA₁⊥AB，AA₁⊥AC，由此能够证明A₁D₁⊥平面BB₁C₁C．
（Ⅱ）由AB=2，AC=2，CC₁=2，C1B1=2

2

，C1D1=

2

，A1D1=

2

，分别求出VABC-A1B1C1和三棱锥C₁-A₁D₁C的体积，由此能求出结果．

解答：解：（Ⅰ）∵在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ABB₁A，ACC₁A₁均为正方形，
∠BAC=90°，AB=2，点D₁是棱B₁C₁的中点，
∴AA₁⊥AB，AA₁⊥AC，
∴AA₁⊥平面ABC，
∴CC₁⊥平面ABC，
∵A₁D₁?平面A₁B₁C₁，D₁是B₁C₁的中点，
∴A₁D₁⊥B₁C₁，
∵CC₁∩B₁C₁，∴A₁D₁⊥平面BB₁C₁C．
（Ⅱ）∵AB=2，AC=2，CC₁=2，C1B1=2

2

，C1D1=

2

，A1D1=

2

，
∴VABC-A1B1C1=

1

2

×AB×AC×CC1
=

1

2

×2×2×2=4．
VC1-A1D1C=VA1-D1C1C
=

1

3

×

1

2

×CC1×C1D1×A1D1
=

1

3

×

1

2

×2×

2

×

2

=

2

3

．
∴三棱锥C₁-A₁D₁C与多面体A₁B₁D₁CAB的体积的比值=

2

3

÷(4-

2

3

)=

1

5

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查三棱锥与多面体的体积之比，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．