Question

已知椭圆的左右焦点分别为F₁，F₂，左顶点为A，若|F₁F₂|=2，椭圆的离心率为e=，
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若P是椭圆上的任意一点，求的取值范围；
（3）直线l：y=kx+m与椭圆相交于不同的两点M，N (均不是长轴的顶点)，AH⊥MN垂足为H且，求证：直线l恒过定点．

Answer 1

解：(1)由题意得，。 
(2)设，，
，
由椭圆方程得，二次函数开口向上，对称轴x=-6＜-2，
当x₀=-2时，取最小值0；当x₀=2时， 取最大值12，
∴的取值范围是[0，12]。
(3)由，得，
由△＞0，得， ※
设，则，，
，
∴，
即，
∴，∴或均适合※，
当时，直线过A，舍去，故；
当时，直线过定点。