Question

1．已知{$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{{e}_{3}}$}为空间的一个基底，且$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$+2$\overrightarrow{{e}_{2}}$-$\overrightarrow{{e}_{3}}$，$\overrightarrow{OB}$=-3$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$+2$\overrightarrow{{e}_{3}}$，$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$-$\frac{6}{7}$$\overrightarrow{{e}_{3}}$，能否以{$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}，\overrightarrow{OC}$}作为空间的一个基底不能（填“能”或“不能”）．

Answer 1

分析 任何三个不共面的向量可以构成空间向量的一个基底，设向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$共面，看能否求出对应的数值即可．

解答 解：∵{e₁，e₂，e₃}为空间的一个基底，
且$\overrightarrow{OA}$=e₁+2e₂-e₃，$\overrightarrow{OB}$=-3e₁+e₂+2e₃，$\overrightarrow{OC}$=e₁+e₂-$\frac{6}{7}$e₃，
设向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$共面，则存在实数m，n，使$\overrightarrow{OA}$=m$\overrightarrow{OB}$+n$\overrightarrow{OC}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-3m+n=1}\\{m+n=2}\\{2m-\frac{6}{7}n=-1}\end{array}\right.$，
解得m=$\frac{1}{4}$，n=$\frac{7}{4}$；
因此{$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}，\overrightarrow{OC}$}不能作为空间的一个基底．
故答案为：不能．

点评 本题考查了空间向量共面的条件是什么，也考查了用待定系数法表示空间向量的应用问题，是中档题目．