Question

6．判断函数f（x）=log₂（1-x）的单调性并证明你的结论．

Answer 1

分析 函数f（x）=log₂（1-x）在区间（-∞，1）上为减函数，结合对数的运算性质和函数单调性的定义，可证得结论．

解答 解：函数f（x）=log₂（1-x）在区间（-∞，1）上为减函数，理由如下：
令x₁，x₂∈（-∞，1），且x₁＜x₂，
故x₂-x₁＞0，则$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{1-{x}_{2}}$＞0，故$1+\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{1-{x}_{2}}$＞1，
则f（x₁）-f（x₂）=log₂（1-x₁）-log₂（1-x₂）=${log}_{2}\frac{1-{x}_{1}}{1-{x}_{2}}$=${log}_{2}（1+\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{1-{x}_{2}}）$＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），
即函数f（x）=log₂（1-x）在区间（-∞，1）上为减函数．

点评 本题考查的知识点是对数函数的图象与性质，难度不大，属于基础题．