Question

【题目】已知A（0，1），B（0，﹣1），M（﹣1，0），动点P为曲线C上任意一点，直线PA，PB的斜率之积为，动直线l与曲线C相交于不同两点Q（x1，y1），R（x2，y2），其中y1＞0，y2＞0且满足．

（1）求曲线C的方程；

（2）若直线l与x轴相交于一点N，求N点坐标.

Answer 1

【答案】（1）（x≠0）；（2）N（﹣2，0）

【解析】

（1）由已知及求轨迹方程的步骤可得到曲线C的轨迹方程；

（2）设直线l的方程为y＝k（x﹣m），联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，由已知可得kMQ+kMR＝0，结合根与系数的关系代入即可解出N点坐标.

（1）动点P为曲线C上任意一点，直线PA，PB的斜率之积为，设动点P（x，y），x≠0；

则有：kPAkPB，化简可得：，x≠0．

故曲线C的方程为：（x≠0）；

（2）设点N的坐标为（m，0）．依题意，直线l的斜率存在且不为0，设为k（k≠0），

则直线l的方程y＝k（x﹣m），将y＝k（x﹣m）代入方程y2＝1（x≠0）．

得（2k2+1）x2﹣4k2mx+2（k2m2﹣1）＝0．

则△＝（﹣4k2m）2﹣8（2k2+1）（k2m2﹣1）＝8（2k2﹣k2m2+1）＞0，

动直线与曲线C相交于不同两点Q（x1，y1），R（x2，y2），其中y1＞0，y2＞0，

x1+x2，x1x2，且满足，即，

如图，

，，

则，故kMQ+kMR＝0，

即，

化简得：，

即，整理得m+2＝0，即m＝﹣2．

故点N的坐标为(﹣2，0)．