题目内容
【题目】已知A(0,1),B(0,﹣1),M(﹣1,0),动点P为曲线C上任意一点,直线PA,PB的斜率之积为,动直线l与曲线C相交于不同两点Q(x1,y1),R(x2,y2),其中y1>0,y2>0且满足.
(1)求曲线C的方程;
(2)若直线l与x轴相交于一点N,求N点坐标.
【答案】(1)(x≠0);(2)N(﹣2,0)
【解析】
(1)由已知及求轨迹方程的步骤可得到曲线C的轨迹方程;
(2)设直线l的方程为y=k(x﹣m),联立直线方程与椭圆方程,化为关于x的一元二次方程,由已知可得kMQ+kMR=0,结合根与系数的关系代入即可解出N点坐标.
(1)动点P为曲线C上任意一点,直线PA,PB的斜率之积为,设动点P(x,y),x≠0;
则有:kPAkPB,化简可得:,x≠0.
故曲线C的方程为:(x≠0);
(2)设点N的坐标为(m,0).依题意,直线l的斜率存在且不为0,设为k(k≠0),
则直线l的方程y=k(x﹣m),将y=k(x﹣m)代入方程y2=1(x≠0).
得(2k2+1)x2﹣4k2mx+2(k2m2﹣1)=0.
则△=(﹣4k2m)2﹣8(2k2+1)(k2m2﹣1)=8(2k2﹣k2m2+1)>0,
动直线与曲线C相交于不同两点Q(x1,y1),R(x2,y2),其中y1>0,y2>0,
x1+x2,x1x2,且满足,即,
如图,
,,
则,故kMQ+kMR=0,
即,
化简得:,
即,整理得m+2=0,即m=﹣2.
故点N的坐标为(﹣2,0).
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