题目内容

【题目】已知A01),B0,﹣1),M(﹣10),动点P为曲线C上任意一点,直线PAPB的斜率之积为,动直线l与曲线C相交于不同两点Qx1y1),Rx2y2),其中y10y20且满足

1)求曲线C的方程;

2)若直线lx轴相交于一点N,求N点坐标.

【答案】1x≠0);(2N(﹣20

【解析】

1)由已知及求轨迹方程的步骤可得到曲线C的轨迹方程;

2)设直线l的方程为ykxm),联立直线方程与椭圆方程,化为关于x的一元二次方程,由已知可得kMQ+kMR0,结合根与系数的关系代入即可解出N点坐标.

1)动点P为曲线C上任意一点,直线PAPB的斜率之积为,设动点Pxy),x≠0

则有:kPAkPB,化简可得:x≠0

故曲线C的方程为:x≠0);

2)设点N的坐标为(m0).依题意,直线l的斜率存在且不为0,设为kk≠0),

则直线l的方程ykxm),将ykxm)代入方程y21x≠0).

得(2k2+1x24k2mx+2k2m21)=0

=(﹣4k2m282k2+1)(k2m21)=82k2k2m2+1)>0

动直线与曲线C相交于不同两点Qx1y1),Rx2y2),其中y10y20

x1+x2x1x2,且满足,即

如图,

,故kMQ+kMR0

化简得:

,整理得m+20,即m=﹣2

故点N的坐标为(20)

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