Question

【题目】如图1，在高为6的等腰梯形中， ，且， ，将它沿对称轴折起，使平面平面.如图2，点为中点，点在线段上（不同于， 两点），连接并延长至点，使.

（1）证明： 平面；

（2）若，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)见解析(2)

【解析】试题分析：（1）由题设知， ， 两两垂直，所以可以为坐标原点，

， ， 所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，分别求出， ，根据数量积为零可证明， ，根据线面垂直的判定定理可得结果；（2）

利用向量垂直数量积为零列方程组，求出平面平面的法向量，结合平面的法向量为，利用空间向量夹角余弦公式可得结果.

试题解析：（1） 由题设知， ， 两两垂直，所以以为坐标原点，

， ， 所在直线分别为轴、轴、轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，设的长度为，

则相关各点的坐标为， ， ， ， ， .

∵点为中点，∴，

∴， ， ，

∵， ，

∴， ，且与不共线，

∴平面.

（2）∵， ，∴，

则，∴， .

设平面的法向量为，

∵，∴，令，则， ，则，

又显然，平面的法向量为，

设二面角的平面角为，由图可知， 为锐角，

则.

【方法点晴】本题主要考查利用空间向量证明线面垂直以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.