题目内容
【题目】已知椭圆和双曲线
有共同的焦点
,
,点
是
,
的交点,若
是锐角三角形,则椭圆
离心率
的取值范围是( )
A. B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
设∠F1PF2=θ,则,得出
,利用椭圆和双曲线的焦点三角形的面积公式可得出
,结合c=2,可得出
,然后将椭圆和双曲线的方程联立,求出交点P的横坐标,利用该点的横坐标位于区间(﹣c,c),得出
,可得出
,从而得出椭圆C1的离心率e的取值范围.
解:设∠F1PF2=θ,则,所以,
,则
,
由焦点三角形的面积公式可得,所以,
,
双曲线的焦距为4,椭圆的半焦距为c=2,则b2=a2﹣c2=a2﹣4>3,
得,所以,椭圆C1的离心率
.
联立椭圆C1和双曲线C2的方程,
得,得
,
由于△PF1F2为锐角三角形,则点P的横坐标,则
,所以,
.
因此,椭圆C1离心率e的取值范围是.
故选:C.
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