Question

【题目】已知椭圆经过点， 的四个顶点构成的四边形面积为.

（1）求椭圆的方程；

（2）在椭圆上是否存在相异两点，使其满足:①直线与直线的斜率互为相反数；②线段的中点在轴上，若存在，求出的平分线与椭圆相交所得弦的弦长；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）3

【解析】试题分析：（1）由椭圆几何意义得，再根据A在椭圆上，列方程组，解得，（2）先设直线的方程，并与椭圆方程联立解出E点横坐标；根据直线与直线的斜率互为相反数，可推出F点横坐标，再根据线段的中点在轴上，解出直线的斜率，最后根据几何性质得的角平分线方程为.

试题解析：解：(1)由已知得，

解得，

∴椭圆的方程.

(2)设直线的方程为，代入，得

.(*)

设， ，且是方程(*)的根，

∴，

用代替上式中的，可得，

∵的中点在轴上，∴，

∴，解得，

因此满足条件的点， 存在.

由平面几何知识可知的角平分线方程为.

∴所求弦长为.