题目内容

【题目】如图,游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C.

现有甲、乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行,速度为50 m/min,在甲出发2 min后,乙从A乘缆车到B,在B处停留1 min后,再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min,山路AC长为1 260 m,经测量,cos A=,cos C=

(1)求索道AB的长;

(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?

(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?

答案】(1)1 040 m;(2);(3)

【解析】(1)中,因为cos A=,cos C=,所以sin A=,sin C=

从而sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=

由正弦定理,可得

所以索道AB的长为1 040 m.(3分)

(2)假设乙出发t 分钟后,甲、乙两游客距离为d,此时,甲行走了(100+50t)m,乙距离A处130t m,

所以由余弦定理,得

因为,即0≤t≤8,所以当分钟时,甲、乙两游客距离最短.(6分)

(3)由正弦定理,得

乙从B出发时,甲已走了50×(2+8+1)=550(m),还需走710 m才能到达C.

设乙步行的速度为v m/min,由题意得,解得

所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在(单位:m/min)范围内.(10分)

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