Question

（2013•凉山州二模）在直角坐标平面内，点A（x，y）实施变换f后，对应点为A'（y，x），给出以下命题：
①圆x²+y²=r²（r≠0）上任意一点实施变换f后，对应点的轨迹仍是圆x²+y²=r²：
②若直线y=kx+b上海一点实施变换f后，对应点的轨迹方程仍是y=kx+b，则k=-1；
③椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)每一点，实施变换f后，对应点的轨迹仍是离心率不变的椭圆；
④曲线C；y=1nx-x（x＞0）上每一点实施变换f后，对应点轨迹足曲线C'，M是曲线C上任意一点，N是曲线C'上任意一点，则|MN|的最小值为

2

(1+ln2)．
以上正确命题的序号是

①③④

 （写出全部正确命题的序号）

Answer 1

分析：题目给出的点A（x，y）实施变换f后，对应点为A'（y，x），对应在曲线上是指的曲线关于直线y=x的对称曲线，利用求曲线关于对称曲线的方程的步骤，求出四个选项中给出的曲线关于y=x的对称曲线的方程，然后对命题加以判断，特别是对命题④的判断，需要构造辅助函数，说明曲线恒在直线y=x的下方，然后求出曲线y=1nx-x（x＞0）上的点到直线的距离的最小值，进一步得到两对称曲线上的点的距离的最小值再进行判断．

解答：解：由题意点A（x，y）实施变换f后，对应点为A'（y，x），对应曲线来说，就是求曲线关于直线y=x的对称曲线．
对于①，因为圆x²+y²=r²（r≠0）的圆心在直线y=x上，所以圆x²+y²=r²（r≠0）上任意一点实施变换f后，对应点的轨迹仍是圆x²+y²=r²．所以①正确；
对于②，直线y=kx+b关于直线y=x的对称曲线方程为y=

1

k

x-

b

k

，而直线y=kx+b上每一点实施变换f后，对应点的轨迹方程仍是y=kx+b，所以

k= 1 k - b k =b

，解得

k=1 b=0

，或

k=-1 b∈R

．所以②不正确；
对于③，椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上每一点，实施变换f后，对应点的轨迹为

y2

a2

+

x2

b2

=1，所以轨迹仍是离心率不变的椭圆．所有③正确；
对于④，令g（x）=x-（lnx-x）=2x-lnx（x＞0）．
g′(x)=2-

1

x

=

2x-1

x

．
当x∈（0，

1

2

）时，g^′（x）＜0，g（x）为减函数，
当x∈（

1

2

，+∞）时，g^′（x）＞0，g（x）为增函数．
所以g（x）在（0，+∞）上有极小值，也是最小值．
最小值为g(

1

2

)=1+ln2．所以曲线y=1nx-x（x＞0）上的点到直线y=x的距离的最小值为

2

2

(1+ln2)．
由对称性可知，曲线y=1nx-x（x＞0）上的点与其关于直线y=x的对称曲线上的点的最小值为2×

2

2

(1+ln2)
即为

2

(1+ln2)．所以④正确．
所以正确命题的序号是①③④．
故答案为①③④．

点评：本题考查了命题的真假的判断，是新定义题，考查了数学转化思想方法，考查了利用导数求函数的最值，解答的关键是理解题目意思，把问题转化为曲线关于直线y=x的对称曲线的关系问题，是中档题．