题目内容

【题目】如果定义在R上的函数f(x),对任意的x∈R,都有f(﹣x)≠﹣f(x),则称该函数是“β函数”.
(Ⅰ) 分别判断下列函数:①y=2x;②y=2x+1; ③y=x2﹣2x﹣3,是否为“β函数”?(直接写出结论)
(Ⅱ) 若函数f(x)=sinx+cosx+a是“β函数”,求实数a的取值范围;
(Ⅲ) 已知f(x)= 是“β函数”,且在R上单调递增,求所有可能的集合A与B.

【答案】解:(Ⅰ)①、②是“β 函数”,③不是“β函数”.…(3分)

(Ⅱ)由题意,对任意的x∈R,f(﹣x)≠﹣f(x),即f(﹣x)+f(x)≠0,.

因为f(x)=sinx+cosx+a,所以f(﹣x)=﹣sinx+cosx+a.

故f(﹣x)+f(x)=2cosx+2a

由题意,对任意的x∈R,2cosx+2a≠0,即a≠﹣cosx

故实数a的取值范围为(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞).

(Ⅲ)①对任意的x≠0

(a)若x∈A且﹣x∈A,则﹣x≠x,f(﹣x)=f(x),这与y=f(x)在R上单调递增矛盾,(舍),

(b)若x∈B且﹣x∈B,则f﹣(x)=﹣x=﹣f(x),这与y=f(x)是“β函数”矛盾,(舍).

此时,由y=f(x)的定义域为R,故对任意的x≠0,x与﹣x恰有一个属于A,另一个属于B.

②假设存在x0<0,使得x0∈A,则由x0 ,故f(x0)<f( ).

(a)若 ,则f( )= ,矛盾,

(b)若 ,则f( )= ,矛盾.

综上,对任意的x<0,xA,故x∈B,即(﹣∞,0)B,则(0,+∞)A.

③假设0∈B,则f(﹣0)=﹣f(0)=0,矛盾.故0∈A

故A=[0,+∞),B=(﹣∞,0).

经检验A=[0,+∞),B=(﹣∞,0).符合题意


【解析】(Ⅰ)有题设可判断。(Ⅱ)根据题意代入“β函数”的形式可得到f(﹣x)+f(x)=2cosx+2a0,即a≠﹣cosx。(Ⅲ)由题意先判断集合A和集合B内元素的存在性。再假设存在x0<0,由反证法得到对任意的x<0,xA,故x∈B,即(﹣∞,0)B,则(0,+∞)A.这个结论。再讨论特殊点假设0∈B时矛盾得到0∈A即A=[0,+∞),B=(﹣∞,0).

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