题目内容
【题目】如果定义在R上的函数f(x),对任意的x∈R,都有f(﹣x)≠﹣f(x),则称该函数是“β函数”.
(Ⅰ) 分别判断下列函数:①y=2x;②y=2x+1; ③y=x2﹣2x﹣3,是否为“β函数”?(直接写出结论)
(Ⅱ) 若函数f(x)=sinx+cosx+a是“β函数”,求实数a的取值范围;
(Ⅲ) 已知f(x)= 是“β函数”,且在R上单调递增,求所有可能的集合A与B.
【答案】解:(Ⅰ)①、②是“β 函数”,③不是“β函数”.…(3分)
(Ⅱ)由题意,对任意的x∈R,f(﹣x)≠﹣f(x),即f(﹣x)+f(x)≠0,.
因为f(x)=sinx+cosx+a,所以f(﹣x)=﹣sinx+cosx+a.
故f(﹣x)+f(x)=2cosx+2a
由题意,对任意的x∈R,2cosx+2a≠0,即a≠﹣cosx
故实数a的取值范围为(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞).
(Ⅲ)①对任意的x≠0
(a)若x∈A且﹣x∈A,则﹣x≠x,f(﹣x)=f(x),这与y=f(x)在R上单调递增矛盾,(舍),
(b)若x∈B且﹣x∈B,则f﹣(x)=﹣x=﹣f(x),这与y=f(x)是“β函数”矛盾,(舍).
此时,由y=f(x)的定义域为R,故对任意的x≠0,x与﹣x恰有一个属于A,另一个属于B.
②假设存在x0<0,使得x0∈A,则由x0< ,故f(x0)<f( ).
(a)若 ,则f( )= ,矛盾,
(b)若 ,则f( )= ,矛盾.
综上,对任意的x<0,xA,故x∈B,即(﹣∞,0)B,则(0,+∞)A.
③假设0∈B,则f(﹣0)=﹣f(0)=0,矛盾.故0∈A
故A=[0,+∞),B=(﹣∞,0).
经检验A=[0,+∞),B=(﹣∞,0).符合题意
【解析】(Ⅰ)有题设可判断。(Ⅱ)根据题意代入“β函数”的形式可得到f(﹣x)+f(x)=2cosx+2a0,即a≠﹣cosx。(Ⅲ)由题意先判断集合A和集合B内元素的存在性。再假设存在x0<0,由反证法得到对任意的x<0,xA,故x∈B,即(﹣∞,0)B,则(0,+∞)A.这个结论。再讨论特殊点假设0∈B时矛盾得到0∈A即A=[0,+∞),B=(﹣∞,0).
【题目】某班主任对全班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查,统计数据如下表所示:
积极参加班级工作 | 不太主动参加班级工作 | 合计 | |
学习积极性高 | 18 | 7 | 25 |
学习积极性一般 | 6 | 19 | 25 |
合计 | 24 | 26 | 50 |
(1)如果随机抽查这个班的一名学生,那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少?抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少?
(2)试运用独立性检验的思想方法点拨:学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关系?并说明理由.(参考下表)
p(K2≥k0) | 0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.789 | 10.828 |