题目内容
【题目】已知焦点在轴上的抛物线
过点
,椭圆
的两个焦点分别为
,
,其中
与
的焦点重合,过点
与
的长轴垂直的直线交
于
,
两点,且
,曲线
是以坐标原点
为圆心,以
为半径的圆.
(1)求与
的标准方程;
(2)若动直线与
相切,且与
交于
,
两点,求
的面积
的取值范围.
【答案】(1) 的标准方程为
.
的标准方程为
.(2)
【解析】
(1)先由已知设抛物线的方程为
,根据抛物线
过点
,即可求出抛物线方程,得出
坐标,再由题意可得
,进而可求出椭圆方程;又曲线
是以坐标原点
为圆心,以
为半径的圆,根据
坐标坐标得出
的值,即可写出圆的标准方程;
(2)先由直线与
相切,得圆心
到直线
的距离为1,因此
,根据题意分类讨论:当直线
的斜率不存在和斜率存在两种情况,结合韦达定理和弦长公式,分别求出
的范围即可.
解:(1)由已知设抛物线的方程为
,
则,解得
,即
的标准方程为
.
则,不妨设椭圆
的方程为
,
由,得
,所以
,
又,所以
,
,
故的标准方程为
.
易知,所以
的标准方程为
.
(2)因为直线与
相切,所以圆心
到直线
的距离为1.所以
.
当直线的斜率不存在时,其方程为
,易知两种情况所得到的
的面积相等.
由,得
.
不妨设,
,则
,
此时.
当直线的斜率存在时,设其方程为
,
则,即
.
由,得
,
所以
恒成立.
设,
,
则,
.
所以.
令,则
,
所以
,
令,则
,
易知区间
上单调递减,所以
.
综上,的面积
的取值范围为
.
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