题目内容
在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,已知a2-c2=b2-
(Ⅰ)求tan2A;
(Ⅱ)若sin(
+B)=
,c=2
,求△ABC的面积.
2
| ||
3 |
(Ⅰ)求tan2A;
(Ⅱ)若sin(
π |
2 |
2
| ||
3 |
2 |
分析:(Ⅰ)利用余弦定理表示出cosA,将已知等式变形后代入求出cosA的值,进而利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值,确定出tanA的值,将所求式子利用二次角的正切函数公式化简后,将tanA的值代入即可求出值;
(Ⅱ)由诱导公式化简sin(
+B)=
,求出cosB的值,再利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值,由诱导公式及三角形内角和定理得到sinC=sin(A+B),利用两角和与差的正弦函数公式化简,将各自的值代入求出sinC的值,再由sinA与c的值,利用正弦定理求出a的值,由a,c及sinB的值,利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积.
(Ⅱ)由诱导公式化简sin(
π |
2 |
2
| ||
3 |
解答:解:(Ⅰ)∵a2-c2=b2-
,即b2+c2-a2=
,
∴cosA=
=
,
∴sinA=
=
,tanA=
,
则tan2A=
=
=2
;
(Ⅱ)由sin(
+B)=
,得cosB=
,
∴sinB=
=
,
则sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=
×
+
×
=
,
由正弦定理
=
得:a=
=2,又c=2
,
则△ABC的面积为S=
acsinB=
.
2
| ||
3 |
2
| ||
3 |
∴cosA=
b2+c2-a2 |
2bc |
| ||
3 |
∴sinA=
1-cos2A |
| ||
3 |
| ||
2 |
则tan2A=
2tanA |
1-tan2A |
2×
| ||||
1-(
|
2 |
(Ⅱ)由sin(
π |
2 |
2
| ||
3 |
2
| ||
3 |
∴sinB=
1-cos2B |
1 |
3 |
则sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=
| ||
3 |
2
| ||
3 |
| ||
3 |
1 |
3 |
| ||
3 |
由正弦定理
a |
sinA |
c |
sinC |
csinA |
sinC |
2 |
则△ABC的面积为S=
1 |
2 |
2
| ||
3 |
点评:此题考查了正弦、余弦定理,三角形的面积公式,同角三角函数间的基本关系,二倍角的正切函数公式,以及两角和与差的正弦函数公式,熟练掌握定理及公式是解本题的关键.

练习册系列答案
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在△ABC中,∠A、∠B、∠C所对的边长分别是a、b、c.满足2acosC+ccosA=b.则sinA+sinB的最大值是( )
A、
| ||||
B、1 | ||||
C、
| ||||
D、
|