题目内容

在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,已知a2-c2=b2-
2
6
bc
3

(Ⅰ)求tan2A;
(Ⅱ)若sin(
π
2
+B)=
2
2
3
c=2
2
,求△ABC的面积.
分析:(Ⅰ)利用余弦定理表示出cosA,将已知等式变形后代入求出cosA的值,进而利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值,确定出tanA的值,将所求式子利用二次角的正切函数公式化简后,将tanA的值代入即可求出值;
(Ⅱ)由诱导公式化简sin(
π
2
+B)=
2
2
3
,求出cosB的值,再利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值,由诱导公式及三角形内角和定理得到sinC=sin(A+B),利用两角和与差的正弦函数公式化简,将各自的值代入求出sinC的值,再由sinA与c的值,利用正弦定理求出a的值,由a,c及sinB的值,利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积.
解答:解:(Ⅰ)∵a2-c2=b2-
2
6
bc
3
,即b2+c2-a2=
2
6
bc
3

∴cosA=
b2+c2-a2
2bc
=
6
3

∴sinA=
1-cos2A
=
3
3
,tanA=
2
2

则tan2A=
2tanA
1-tan2A
=
2
2
1-(
2
2
)
2
=2
2

(Ⅱ)由sin(
π
2
+B)=
2
2
3
,得cosB=
2
2
3

∴sinB=
1-cos2B
=
1
3

则sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=
3
3
×
2
2
3
+
6
3
×
1
3
=
6
3

由正弦定理
a
sinA
=
c
sinC
得:a=
csinA
sinC
=2,又c=2
2

则△ABC的面积为S=
1
2
acsinB=
2
2
3
点评:此题考查了正弦、余弦定理,三角形的面积公式,同角三角函数间的基本关系,二倍角的正切函数公式,以及两角和与差的正弦函数公式,熟练掌握定理及公式是解本题的关键.
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