Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左，右焦点分别为F₁，F₂，过F₁的直线分别交双曲线的两条渐近线于点P，Q．若点P是线段F₁Q的中点，且QF₁⊥QF₂，则此双曲线的渐近线方程为（　　）

• A、y=±

  2

  x
• B、y=±

  3

  x
• C、y=±2x
• D、y=±3x

Answer 1

分析：点P是F₁Q的中点，O是F₁F₂的中点，利用三角形的中位线定理可得OP∥F₂Q．已知QF₁⊥QF₂，可得F₁Q⊥OP．进而得到直线F₁P的方程，即可得到点P的坐标，利用两点间的距离公式可得|OP|，得到|QF₂|，及|QF₁|．在Rt△F₁QF₂中，利用勾股定理可得a，c的关系，即可求得双曲线的渐近线方程．

解答：解：如图所示，
∵点P是F₁Q的中点，O是F₁F₂的中点，
∴OP∥F₂Q．
∵QF₁⊥QF₂，∴F₁Q⊥OP．
∵OP的方程为y=-

b

a

x，
∴kF1P=

a

b

，
∴直线F₁P的方程为y=

a

b

（x+c）．
联立

y= b a x y= a b (x+c)

，解得

x=- a2 c y= ab c

，即P（-

a2

c

，

ab

c

）．
∴|OP|=

(- a2 c )2+( ab c )2

=a．
∴|QF₂|=2a，|QF₁|=4a．
在Rt△F₁QF₂中，∵|QF1|2+|QF2|2=|F1F2|2，
∴（2a）²+（4a）²=（2c）²，
∴c²=5a²，
∴b²=c²-a²=4a²，
∴b=2a，
∴双曲线的渐近线方程为y=±2x．
故选C．

点评：本题综合考查了双曲线的标准方程及其性质、三角形的中位线定理、勾股定理、相互垂直的直线之间的关系等基础知识与基本技能方法，属于中档题．